НОА 2025, IV кръг, Старша възраст — Задача 2. Астрометрия на екзопланети

Решение.

А) Пунктираната траектория е комбинация от собственото движение на центъра на масите, което е линейно и равномерно, и от паралактичното отместване. Видимото движение на центъра на масите по пунктираната траектория има период 1 yr. Избираме по пунктираната крива два момента на точно 3 yr един от друг (с еднакво паралактично отместване), намираме разликите в отместванията по двете оси, делим на 3 yr и така пресмятаме собственото движение на системата и компонентите му:

Б) Може да се подходи по различни начини. Един такъв начин е да се изберат две последователни точки, отдалечени максимално от пунктираната права. В тях ъгловата скорост по паралактичната елипса е по/срещу направлението на собственото движение и те са разделени времево на половин година, тъй като са срещуположни по паралактичната елипса. Използвайки тази информация, можем да възстановим паралактичната елипса. Годишният паралакс е равен на голямата ѝ полуос. Построяваме, измерваме и получаваме годишен паралакс $p = 20\ \mathrm{mas} = \mathbf{0.02''}$. Разстоянието до системата е $d = 1/p['']= \mathbf{50\ \mathrm{pc}}$.

В) Ако използваме мерни единици km/s, pc, ″/yr, тангенциалната скорост е $v_T = 4.74\mu d = \mathbf{11.85\ \mathrm{km/s}}$.

Г) По небето отместването на звездата $S$ спрямо центъра на масите на системата планета-звезда $C$ е вектор $\overrightarrow{CS} \equiv \vec{r}$ с фиксирана големина $r$, който се върти с период, равен на орбиталния. Той ни изпраща от пунктираната крива към непрекъснатата крива, така че разстоянието от дадена точка по едната крива до другата крива трябва да бъде не повече от $r$.

Когато разстоянието между пунктираната крива и непрекъснатата крива е максимално, векторът $\vec{v}$ следва да има максимален възможен принос към отдалечаването от пунктираната крива, тоест трябва да сочи точно перпендикулярно на пунктираната крива при $C$.

I начин: Допирателната по самата пунктирана крива указва посоката на движение на центъра на масите по небето в даден момент. Това движение се явява векторен сбор от собственото движение на центъра на масите $\vec{\mu}$ (константа) и вектора на промяна на паралакса $\mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}t$. Също както самото паралактично отместване $\vec{p}$ по небето, векторът $\mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}t$ променя посоката си с период, равен на една година (въпреки че $\vec{p}$ не е с постоянна големина – паралактичната елипса е далеч от кръгче!). И така, посоката на $\vec{\mu} + \mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}t$ явно се променя с период 1 година.

Съответно това $\vec{\mu} + \mathrm{d}\vec{p}/\mathrm{d}t$ да е перпендикулярно на $\vec{v}$ е свързано със синодичен период, който зависи от орбиталния период на системата $T$ и периода на паралакса $T_0 = 1\ \mathrm{yr}$. За всеки такъв синодичен период $T_{\mathrm{syn}}$ траекторията на звездата (непрекъснатата крива) ще достигне максимално отдалечаване от траекторията на центъра на масите (пунктираната крива) 2 пъти – съответно „ляво“ и „дясно“. От 1-вото до 9-ото максимално отдалечаване (време $4T_{\mathrm{syn}}$) минават приблизително 3.4-3.5 години, откъдето оценяваме периода на $T_{\mathrm{syn}} = 0.86\ \mathrm{yr}$.

Има и по-точен начин на работа: Ако времето от 1-вото до 9-ото максимално отдалечаване е $3 + x$ години, то изоставането на максимално дясно отклонение спрямо паралактичната фаза на предното максимално дясно отклонение в години е $(1 - (3+x)/4)$. По графиката се забелязва, че 3 такива отмествания случайно дават общо около $x$ години. Решаваме $3(1 - (3+x)/4) = x$. Получаваме $x = 0.43\ \mathrm{yr}$, $T_{\mathrm{syn}} = (3+x)/4 = 0.86\ \mathrm{yr}$.

Сега обръщаме внимание, че движението по паралактичната елипса и движението на звездата поради планетата са еднопосочни. Така получаваме орбиталния период на планетата по формулата за синодичен период:

II начин: Тук изполваме, че положенията на максимално отдалечаване задават направлението планета-звезда (или център на масите - звезда) по небето. Те са маркирани с червени стрелки на Фигура А3. Можем например да забележим, че в момент 2 направлението планета-звезда е точно обратното спрямо момент 9, т.е. планетата е направила $N + 1/2$ оборота между двата момента. Можем да проследим траекториите като движим по тях мислено центъра на масите и звездата и да преброим, че $N = 6$. Също така, двата момента са в почти еднаква фаза спрямо паралактичното отместване, т.е. почти точно на 3 yr един от друг. Тоест, за 3 години планетата е направила 6.5 оборота и орбиталният период е $T = (3\ \mathrm{yr})/6.5 = \mathbf{0.46\ \mathrm{yr}}$.

Д) Ако работим в мерни единици au, yr, $M_\odot$, то $M = r_P^3/T^2$. Заместваме с $r_P = 0.6\ \mathrm{au}$, $T = 0.46\ \mathrm{yr}$ и получаваме $M = \mathbf{1.0\ M_\odot}$.

Е) След измервания получаваме максимално отдалечаване на траекторията на звездата от траекторията на центъра на масите $\rho = 5.3\ \mathrm{mas}$. На разстояние 50 pc то съответства на линейно отстояние $(0.0053'')(50\ \mathrm{pc}) = 0.265\ \mathrm{au}$. Но ефектът е усилен $k$ пъти, тоест максималното отдалечаване всъщност е $r_S = (0.265/k)\ \mathrm{au}$.

За разстоянията до центъра на масите в двойна система важи $M_P r_P = M_S r_S$. Знаейки, че $r_P = 0.6\ \mathrm{au}$, а отношението на масите в системата е $M_P : M_S = 10/(1.0\times 1047)$, получаваме

Александър Куртенков

Критерии за оценяване (общо 20 т.):

А) Общо – 3 т.

Б) Общо – 4 т.

В) Общо – 3 т. (Разпространението на грешките от А) и Б) не се наказва във В))

Г) Общо – 4 т.

Д) Общо – 2 т.

Е) Общо – 4 т. (Разпространението на грешката от Г) не се наказва в Д) и Е))

Фигура 1. Видим път на близка звезда по небето.

Предайте този лист заедно с решенията си!