НОА 2026, I кръг (общински), 11–12 клас — Задача 2. Дати на затъмненията

• А) метоничен (или Метонов) цикъл

• Б) Защото 235 синодични месеца = 19 yr 2 h 4 m, т.е. почти точно 19 тропични години, а същият интервал е и почти точно 20 драконични години (20,02).

  $T_{\mathrm{SYN}} = 29^{\mathrm{d}}\,12^{\mathrm{h}}\,44^{\mathrm{m}}\,3^{\mathrm{s}}$; драконична година $= 346^{\mathrm{d}}\,14^{\mathrm{h}}\,52^{\mathrm{m}}\,54^{\mathrm{s}}$.

• В) 18 години 11 денонощия 8 часа

  Най-малкото общо кратно на синодичния, драконичния и аномалистичния лунен месец: 223 синодични, 242 драконични и 239 аномалистични месеца.

А) Споменатият в задачата период се нарича метоничен (или Метонов) цикъл.

Б) Нека да направим количествена обосновка за продължителността на метоничния цикъл. Тя е равна на 235 синодични лунни месеца ($T_{\mathrm{SYN}}$).

Тъй като $T_{\mathrm{SYN}} = 29^{\mathrm{d}}\ 12^{\mathrm{h}}\ 44^{\mathrm{m}}\ 3^{\mathrm{s}}$, то $235\,T_{\mathrm{SYN}} = 19^{\mathrm{yr}}\ 2^{\mathrm{h}}\ 4^{\mathrm{m}}$ или съвсем малко повече от точно 19 тропични години (на които е базиран съвременният календар). Това означава, че на две дати, между които интервалът от време е точно 19 години, Луната е в една и съща фаза.

Тук също е важно да са отбележи, че продължителността на една драконична година (или интервалът от време между две последователни видими преминавания на Слънцето през един и същи възел на лунната орбита) е $346^{\mathrm{d}}\ 14^{\mathrm{h}}\ 52^{\mathrm{m}}\ 54^{\mathrm{s}}$. Лесно можем да получим, че метоничният цикъл е почти точно 20 пъти по-дълъг от драконичната година (по-точно 20,02 пъти. Оттук следва, че през въпросния интервал от време, който е почти точно равен на 19 години, не просто Луната е в една и съща фаза, но и Слънцето е в едно и също видимо положение спрямо възлите на нейната орбита. Това е причината през такъв период да се наблюдават слънчеви и лунни затъмнения.

В древността метоничният цикъл е бил използван за предсказване на дати на слънчеви и лунни затъмнения.

В) Продължителността на сароса е 18 години 11 денонощия 8 часа, като с много голяма точност тя е равна на най-малкото общо кратно на синодичния, драконичния и аномалистичния лунни месеци (в един сарос се съдържат 223 синодични месеца, 242 драконични месеца и 239 аномалистични месеца). По тази причина, това е най-краткият период, през който се повтаря много точно една и съща взаимна геометрична подредба на Земята, Луната и Слънцето. Затова и през този период от време се повтарят аналогични условия за наблюдения на слънчеви и лунни затъмнения.

Тъй като в сароса не се съдържа цяло число денонощия, затъмненията, които отстоят на точно един сарос във времето не се наблюдават от едни и същи места по Земята.

При решаването на тази задача се очаква учениците да намерят самостоятелно продължителностите на използваните в решението месеци и на тропичната година. Възможно е в различните източници на информация да са посочени съвсем слабо различаващи се стойности, поради което резултатите от пресмятанията в решенията да са различни от получените в авторското решение. Ако са налице такива разлики, но решението на ученика е логически правилно, не би следвало да се отнемат точки.

Критерии за оценяване (общо 10т.)

А) За правилно назоваване на името на метоничния (Метоновия) цикъл – 2т.

Б) За правилна и добре обяснена количествена обосновка защо продължителността на метоничния цикъл е много близка до 19 години – 6т.

В) 2 т.

За правилно посочване на продължителността на сароса – 1т.

За обяснение на смисъла на сароса – 1т.