НОА 2026, I кръг (общински), 9–10 клас — Задача 2. Тангра и Бендида

• А) $(1{,}094 - 1) \times 100\% = 9{,}4\%$

  Най-близка по маса е Сатурн ($5{,}69.10^{26}$ kg); той е само с около 9,4% по-масивен от Бендида.

• Б) $\rho = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \approx 242\ \mathrm{kg/m^3} = 0{,}242\ \mathrm{g/cm^3}$

  Няма планета от Слънчевата система с подобна плътност — най-ниска е тази на Сатурн (687 kg/m³), около 2,8 пъти по-висока.

• В) $\left(1 - \frac{E}{E_0}\right)\times 100\% = \left(\frac{R}{R_0}\right)^2 \times 100\% = 1{,}0\%$

  $E/E_0 = 1 - (R/R_0)^2 \approx 0{,}990$ при $R_0 = 1{,}14\,R_\odot$.

• Г) Не. Голямата полуос на орбитата на Бендида е 0,05 астрономически единици — около 8 пъти по-близо до звездата си, отколкото е Меркурий до Слънцето, така че температурата на повърхността ѝ трябва да е много висока; освен това масата ѝ е сравнима с масите на газовите планети гиганти.

Решение:

А) Най-близка по маса до Бендида е планетата Сатурн. Нейната маса е $5{,}69.10^{26}$ kg Отношението на масите на Сатурн и Бендида е $5{,}69.10^{26}$ kg / $5{,}2.10^{26}$ kg $\approx 1{,}094$. Разликата между масата на Сатурн и масата на Бендида в проценти от масата на Бендида ще бъде:

Сатурн е само с около 9,4% по-масивен от Бендида.

Б) Ако означим с $M$ и $R$ масата и радиуса на Бендида, то нейната средна плътност ще бъде:

Това е доста ниска средна плътност, около 4 пъти по-ниска от плътността на водата. Няма планета от Слънчевата система с подобна плътност. Планетата с най-ниска плътност е Сатурн ($687\ \mathrm{kg/m^3}$), но дори и нейната плътност е около 2,8 пъти по-висока от тази на Бендида.

В) Означаваме с $R_0$ радиуса на звездата Тангра. Видимият блясък на звездата се определя от осветеността, която тя създава за земния наблюдател (лъчистата енергия, попадаща за единица време на единица площ върху Земята). Нека $E_0$ е осветеността, създавана от звездата, когато планетата не минава пред нея, а $E$ да бъде осветеността, създавана от звездата по време на пасаж на планетата. Можем да си представим звездата като светещ диск с площ $\pi R_0^2$, пред който преминава тъмният диск на планетата с площ $\pi R^2$. Тогава:

По време на пасаж на планетата намаляването на блясъка на звездата в проценти ще бъде:

Г) Данните за звездата Тангра показват, че тя е доста подобна на нашето Слънце. Намираме информация за голямата полуос на орбитата на Бендида около нея, тя е 0,05 астрономически единици. Бендида е около 8 пъти по-близо до своята звезда, отколкото е Меркурий до Слънцето, поради което температурата на повърхността ѝ трябва да е много висока. Освен това масата на планетата е сравнима с масите на газовите планети гиганти от Слънчевата система. При тези условия Бендида не би могла да бъде обитаема.

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

А) 2 т.

За правилно определяне на планетата с най-близка маса – 0,5 т.

За правилно пресмятане на процентната разлика – 1,5 т.

Б) 3 т.

За правилно пресмятане на средната плътност на Бендида – 2 т.

За сравнение с плътността на планети от Слънчевата система – 1 т.

В) 3 т.

За правилен алгебричен метод на пресмятане – 2 т.

За верен числен резултат – 1 т.

Г) За правилни съображения относно възможността планетата да е обитаема и верен извод – 2 т.