Съдържание

НОА 2026, I кръг (общински), 9–10 клас — Задача 4. Триъгълник в небето

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

XXIX Национална олимпиада по астрономия, Общински кръг 2025-2026 г., възрастова група 9-10 клас · 10 т.

Условие

Дадена е карта на съзвездието Триъгълник (Triangulum). По осите са дадени екваториални координати – ректасцензия и деклинация. Официалните граници на съзвездието са отбелязани като фонът извън тях е потъмнен. Площта на съзвездието е достатъчно малка, за да можем да пренебрегнем кривината на небесната сфера и да приемем, че то лежи в небесна равнина. Използвайте разстоянието между точките с координати ( $2^{\mathrm{h}}$ , $+20°$ ) и ( $2^{\mathrm{h}}$ , $+40°$ ), за да измерите колко градуса съответстват на сантиметър от изображението. Използвайки този резултат:

А) Направете необходимите измервания и изчислете площта на съзвездието, в квадратни градуси. [3 т.]

Б) Името на съзвездието идва от триъгълника, образуван от звездите α Tri – β Tri – γ Tri (свързани с отсечки на картата). Направете необходимите измервания и изчислете колко процента от площта на съзвездието попадат в този триъгълник. [3 т.]

В) Какво представлява обектът M33, който се намира в това съзвездие? На колко светлинни години от нас е този обект? [2 т.]

Г) На картата се вижда, че Триъгълник граничи с 4 съзвездия, но имената им не са отбелязани. Кои са те? [2 т.]

Звездна карта на областта около Triangulum: границите на съзвездието са светли, останалият фон е сив; отбелязани са звездите α, β, γ, δ, ε и обектът M33. — Карта на съзвездието Триъгълник (Triangulum) с екваториални координати.

Отговори

Решение

Решение:

А) Както при всяко друго съзвездие, границите на Триъгълник са успоредни на екваториалните координати по небето и съответно съдържат само 90-градусови ъгли. Това позволява площта на съзвездието по небето да бъде разделена на сферични правоъгълници. Тъй като ъгловите размери на съзвездието са малки (видимо под 20° в кое да е направление), можем лесно да апроксимираме сферичните правоъгълници с обикновени двумерни правоъгълници. Задачата може да бъде решена по различни начини, но едно такова възможно разделение е показано на фигурата долу.

За да измерим страните на правоъгълниците, а от там и площите им, трябва да използваме някое фиксирано разстояние с цел мащабиране. Най-удобно е да ориентираме това разстояние изцяло по деклинация – например, разстоянието между 30-тия и 40-тия небесен паралел е точно 10°. След това мащабираме и измерваме страните на всеки правоъгълник, в случая:

$S_1 = 2{,}0° \times 3{,}4° = 6{,}8°^2$ , $\quad S_2 = 6{,}8° \times 6{,}2° = 42{,}2°^2$ , $\quad S_3 = 7{,}7° \times 4{,}4° = 33{,}9°^2$ ,

$S_4 = 9{,}8° \times 3{,}3° = 32{,}3°^2$ , $\quad S_5 = 3{,}3° \times 2{,}7° = 8{,}9°^2$ , $\quad S_6 = 3{,}5° \times 2{,}2° = 7{,}7°^2$

Сумираме и получаваме 132 квадратни градуса. Резултати от 110 до 150 квадратни градуса би следвало да се оценяват с пълен брой точки, независимо от това, кой геометричен метод е използван. [3т.]

Същата карта на Triangulum с шест начертани правоъгълника, означени S1–S6, и двупосочна стрелка с надпис 10° между паралелите +30° и +40°. — Разделяне на съзвездието Триъгълник на шест правоъгълника $S_1$ – $S_6$ и мащабната отсечка от 10° по деклинация.

Б)

I начин:

Използваме вече получения мащаб, за да изчислим ъгловите разстояния между всяка двойка от трите звезди. Те са:

алфа – бета: $a = 6{,}43°$

бета – гама: $b = 1{,}97°$

алфа – гама: $c = 6{,}69°$

Пресмятаме площта на триъгълника алфа-бета-гама по Хероновата формула:

p = (a + b + c)/2

S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Получаваме 6,3 квадратни градуса, което е малко под 5% от площта на цялото съзвездие Триъгълник.

II начин:

Построяваме някоя височина и пресмятаме площта по формулата $S = ah/2$ . Можем също да забележим, че ъгълът в звезда бета ( $\beta$ Tri) е почти 90°, т.е. площта е $(6{,}43°.1{,}97°)/2 = 6{,}3$ квадратни градуса, което е малко под 5% от площта на цялото съзвездие Триъгълник. [3т.]

В) Обектът M33 е спиралната галактика Триъгълник – третата най-голяма галактика в нашия куп от галактики (Местната група), след галактиката Андромеда (M31) и Млечния път. Разстоянието до M33 е около 2,8 милиона светлинни години. [2т.]

Г) Четирите съзвездия, които граничат с Триъгълник, са: Андромеда (Andromeda), Риби (Pisces), Овен (Aries) и Персей (Perseus). [2т.]

Критерии за оценяване (общо 10 т.):

А) За измервания и пресмятане на площта на съзвездието – 3 т.

Б) За измервания и пресмятане на площта на триъгълника от звезди – 3 т.

В) За обяснения за естеството на M33 и разстоянието до него – 2 т.

Г) За изброяване на съзвездията, граничещи с Триъгълник – 4×0,5 т. = 2 т.

Оригинал в Архива: 26-I-910.pdf · официални решения: a26-I-910.pdf