НОА 2026, II кръг (областен), 11–12 клас — Задача 4. Плутон и Нептун

XXIX Национална олимпиада по астрономия 2026, областен кръг, възрастова група 11-12 клас · 22 февруари 2026 г. · 12 т.

Условие

Нека си представим, че орбитите на Плутон и Нептун лежат точно в една равнина. В приложените справочни данни са дадени техните важни за задачата орбитални елементи. Приемете, че орбитата на Нептун е кръгова.

Справочни данни:

Гравитационна константа: $G = 6{,}67.10^{-11}\ \mathrm{m^3s^{-2}kg^{-1}}$

Маса на Плутон: $1{,}30.10^{22}\ \mathrm{kg}$

Маса на Нептун: $1{,}02.10^{26}\ \mathrm{kg}$

Голяма полуос на орбитата на Плутон: $39{,}49\ \mathrm{au}$

Ексцентрицитет на орбитата на Плутон: $0{,}249$

Радиус на орбитата на Нептун: $30{,}08\ \mathrm{au}$

Маса на Слънцето: $2.10^{30}\ \mathrm{kg}$

А) Намерете на колко градуса по орбитата на Нептун отстоят една от друга точките, в които двете орбити се пресичат. Може да използвате, че разстоянието от Слънцето на планета с голяма полуос на орбитата a и ексцентрицитет на орбитата e е

$r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e\cos\theta}$

В тази формула $\theta$ е ъгълът перихелий – Слънце – планета. [3 т.]

Б) Оценете приблизително продължителността на интервала от време, за който Плутон изминава частта от своята орбита, която лежи „вътре“ в орбитата на Нептун. [3 т.]

В) Нека си представим, че гравитацията между Нептун и Плутон се изключва и двете планети се сблъскват при орбиталното си движение. Те претърпяват абсолютно нееластичен удар, т.е. след удара започват да се движат като едно тяло, което има маса равна на сумата от началните им маси (пренебрегваме загубата на маса от удара).

Пресметнете загубената вследствие на удара механична енергия. [6 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: 26-II-1112.pdf · официални решения: a26-II-1112.pdf