НОА 2026, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 2. Пътешествие до Марс

• А) $T_M = T_T\sqrt{\frac{{r_M}^3}{{r_T}^3}} \approx 684{,}47\ \text{дни};\qquad t = \frac{T}{2} \approx 258{,}3\ \text{дни}$

  Орбитален период на Марс $T_M \approx 684{,}47$ дни; голяма полуос на прехода $a = 1{,}26$ au, пълен период $T \approx 516{,}59$ дни, време за полет $t = T/2 \approx 258{,}3$ дни.

• Б) За времето на пътуването Земята описва ъгъл $\alpha = \frac{258{,}3}{365{,}25}\cdot 360^\circ \approx 255^\circ$ (отмерен от Т₁), а Марс — ъгъл $\beta = \frac{258{,}3}{684{,}47}\cdot 360^\circ \approx 136^\circ$, отмерен от М₂ в посока, обратна на орбиталното движение, за да се намери М₁.

• В) Земята ще се вижда в края на нощта (рано сутрин, преди изгрева на Слънцето).

  За марсианския наблюдател Земята е вътрешна планета; в точка Т₂ тя е отклонена леко на запад от Слънцето, затова изгрява малко преди него.

А) Означаваме с $T_\mathrm{T}$ и $T_\mathrm{M}$ орбиталните периоди на Земята и Марс, а с $r_\mathrm{T}$ и $r_\mathrm{M}$ радиусите на орбитите на Земята и Марс. Използваме III закон на Кеплер:

Голямата полуос на оритата на космическия кораб ще бъде:

Нека пълният период на движение по елипсата с голяма полуос a да бъде T. Отново чрез III закон на Кеплер намираме:

Времето, за което космическият кораб ще измине половината от своята елиптична орбита и ще стигне до Марс, ще бъде:

Б) Означаваме с S Слънцето и начертаваме кръговите орбити на Земята и Марс с радиуси в съотношение 1 : 1,52. Отбелязваме с Т₁ началното положение на Земята.

Щом космическият кораб описва половин елипса с перихелий в точка Т₁ и афелий на марсианската орбита, то той ще пристигне в точка М₂, където трябва да е Марс и тази точка ще лежи на другия край на голямата ос на елиптичната траектория на кораба. За времето на пътешествието Земята ще опише ъгъл:

Отмерваме този ъгъл от началното положение на Земята и нанасяме точка Т₂, където тя ще бъде при пристигането на кораба на Марс.

От момента на тръгването на кораба от Земята до пристигането му на Марс, планетата Марс трябва да е изминала по своята орбита ъгъл:

Отмерваме този ъгъл от точка М₂ в посока обратна на орбиталното движение на Марс и нанасяме точката М₁, където той трябва да е бил при стартирането на кораба от Земята.

В) За марсианския наблюдател Земята е вътрешна планета и около средата на нощта тя по принцип е под хоризонта. На схемата е отбелязана нощната и дневната страна на Марс. Марс се върти около оста си в същата посока, в която обикаля около Слънцето. Ако там въведем посоките изток и запад също както на Земята, то околоосното въртене на Марс ще бъде от запад на изток и следователно в небето на марсианския наблюдател Земята в точка Т₂ ще е отклонена леко на запад от Слънцето. Рано сутрин, преди изгрева на Слънцето тя ще изгрява, а известно време след нея ще изгрява и Слънцето. Така стигаме до извода, че Земята ще се вижда в края на нощта.

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) 4 т.

За пресмятане на орбиталния период на Марс: 2 т.

За определяне на времето за пътуване на кораба: 2 т.

Б) 6 т.

За начертаване на планетните орбити в мащаб и отбелязване на началното положение на Земята Т₁ и положението на Марс при пристигането на кораба М₂: 2 т.

За определяне и нанасяне на положението на Земята Т₂: 2 т.

За определяне и нанасяне на началното положение на Марс М₁: 2 т.

В) За правилен отговор кога ще се вижда Земята и обяснение: 2 т.