НОА 2026, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 3. Екзопланета

• А) Дълбочина на пасажа $\Delta m = 2{,}5\lg\!\left(\frac{R^2}{R^2-r^2}\right) \approx 3{,}6\cdot 10^{-3}$ mag; време между първи и втори контакт $\Delta t_1 = \frac{2r}{v} \approx 26{,}4$ min; време между втори и трети контакт $\Delta t_2 = \frac{2(R-r)}{v} \approx 7\ \mathrm{h}\ 16\ \mathrm{min}$.

• Б) $\rho = \frac{m}{V} = \frac{30 M_E}{4\pi r^3} \approx 224\ \mathrm{kg/m^3}$

  Плътността е почти пет пъти по-малка от тази на водата — планетата не може да е скалиста, а е газов гигант.

• В) $\Delta v = 2v_r = 2u\frac{R}{a} \approx 4\ \mathrm{cm/s}$

  Орбитална скорост на планетата $v_P \approx 50{,}5$ km/s, скорост на звездата около центъра на масите $u \approx 1{,}51$ m/s, $\theta \approx 46'$.

Нека въведем следните означения:

$M$ – маса на звездата.

m – маса на екзопланетата

a = 0,35 au – голяма полуос (радиус) на орбитата на екзопланетата

r = 40 000 km – радиус на екзопланетата

$M_\mathrm{E}$ – маса на Земята.

А) Нека първо да пресметнем промяната на звездната величина на звездата Δm вследствие от преминаването на екзопланетата пред нейния диск. Осветеността, която звездата създава извън пасаж е $E_0$ и за нея може да се запише:

Където T е температурата на звездата.

При пасаж планетата закрива част от диска, която има площ равна на площта на напречното сечение на планетата. Следователно, за осветеността, която звездата създава по време на пасаж, можем да запишем:

От закона на Погсън:

Следователно:

За да построим кривата на блясък е необходимо да знаем интервалите от време между отделните контакти.

Виждаме, че звездата е от Главната последователност и има радиус, равен на този на Слънцето. Следователно, можем да направим извода, че това е слънцеподобна звезда и нейната маса е равна на $M_\mathrm{SUN}$.

Скоростта с която планетата се движи около звездата е:

Интервалът от време за който планетата „навлиза“ пред диска на звездата (или времето от първи до втори контакт на пасажа) приблизително, но достатъчно точно може да се определи от следното равенство:

Аналогично, интервалът от време между втори и трети контакт (времето за което планетата е изцяло пред диска на звездата) е:

Кривата на блясъка би трябвало да изглежда както е показано на фигурата:

Разбира се, от учениците не се изисква да отчитат ефекта от потъмняването на диска на звездата към края, който води до това, че „хоризонталният“ участък не е плосък.

Б) За да преценим какви са строежът и съставът на планетата, трябва да пресметнем нейната средна плътност ρ. Обемът на планетата е:

За плътността имаме:

Забелязваме, че тази плътност е много ниска, почти пет пъти по-малка от тази на водата. Това означава, че екзопланетата не може да е скалиста. По-голямата част от нейния обем се заема от атмосфера, която във високите си части е силни разредена. Планетата принадлежи към тип газови гиганти.

В) Орбиталната скорост на планетата можем да намерим по следната формула:

Нека да означим с u скоростта на звездата около центъра на масите на системата. От дефиницията за център на масите следва че:

От тук получаваме:

На фигурата е показано положението на екзопланетата по орбитата ѝ, в момента, в който тя „излиза“ от диска на звездата, за наблюдателя. Тук приемаме, че планетата е точка и не отчитаме нейния размер, защото той е само 6% от размера на звездата и това няма да промени съществено крайния резултат.

За ъгъла θ можем да запишем:

откъдето намираме: $\theta \approx 46'$.

От чертежа се вижда, че лъчевата скорост на звездата в този момент е:

Знакът минус показва, че звездата се приближава към наблюдателя.

В началото на пасажа, ситуацията е напълно аналогична, но всички скорости са насочени в обратна посока. Това означава, че тогава лъчевата скорост на звездата има същата големина, но обратен знак, т.е. звездата се отдалечава от наблюдателя. Следователно, търсената разлика в лъчевите скорости е:

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) 4т.

- За правилно изразяване на промяната на звездата величина и верен числен отговор: 1т

- За правилно изразяване на характерните за пасажа времеви интервали и верни числени резултати: 2т

- За правилно построена крива на блясъка: 1т

Б) 2т.

- За правилно изчисляване на средната плътност на планетата: 1т.

- За правилен извод, че това е газов гигант: 1т.

В) 6т.

- За намиране на орбиталната скорост на планетата: 1т.

- За намиране на скоростта на звездата относно центъра на масите: 1т.

- За правилно геометрично представяне на движението на звездата, спрямо наблюдателя, в края или в началото на пасажа и съответстващото математическо описание: 3т.

- За краен израз за разликата в лъчевите скорости и правилен числен резултат: 1т.

Възможно е решението на ученика да се различава от авторското. Всяко правилно решение би следвало да се оцени със съответния брой точки.