Съдържание

НОА 2026, II кръг (областен), 9–10 клас — Задача 4. Най-ярките звезди

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

XXIX Национална олимпиада по астрономия 2026, областен кръг, възрастова група 9-10 клас · 22 февруари 2026 г. · 12 т.

Условие

В таблицата е даден списък с 10-те най-ярки звезди на нощното небе, техни координати и някои параметри.

№	име	Звездна величина	Ректасцензия	Деклинация	Спектрален клас	Разстояние, ly
1	Сириус	−1,46	$06^\mathrm{h}\,45^\mathrm{m}\,09^\mathrm{s}$	$-16^\circ\,43'$	A0V + DA	8,6
2	Канопус	−0,74	$06^\mathrm{h}\,23^\mathrm{m}\,57^\mathrm{s}$	$-52^\circ\,42'$	A9II	310
3	Алфа от Кентавър	−0,27	$14^\mathrm{h}\,39^\mathrm{m}\,36^\mathrm{s}$	$-60^\circ\,50'$	G2V + K1V	4,3
4	Арктур	−0,05	$14^\mathrm{h}\,15^\mathrm{m}\,40^\mathrm{s}$	$+19^\circ\,11'$	K0III	37
5	Вега	0,03	$18^\mathrm{h}\,36^\mathrm{m}\,56^\mathrm{s}$	$+38^\circ\,47'$	A0V	25
6	Капела	0,08	$05^\mathrm{h}\,16^\mathrm{m}\,41^\mathrm{s}$	$+46^\circ\,00'$	K0III + G1III	43
7	Ригел	0,13	$05^\mathrm{h}\,14^\mathrm{m}\,32^\mathrm{s}$	$-08^\circ\,12'$	B8I	860
8	Процион	0,34	$07^\mathrm{h}\,39^\mathrm{m}\,18^\mathrm{s}$	$+05^\circ\,13'$	F5V + DQ	11
9	Ахернар	0,46	$01^\mathrm{h}\,37^\mathrm{m}\,43^\mathrm{s}$	$-57^\circ\,14'$	B3V	140
10	Бетелгейзе	0,3 – 1,3 (var)	$05^\mathrm{h}\,55^\mathrm{m}\,10^\mathrm{s}$	$+07^\circ\,24'$	M1I	640

Упътване за Б) и В): Звездите кулминират, когато т.нар. звездно време съвпадне с ректасцензията им. За дадена звезда това се случва веднъж на всеки 23h 56min 4s – периода на околоосно въртене на Земята.

А) Две от звездите са в едно и също съзвездие. На колко градуса една от друга са те по небето? Като ъглова мярка 1h = 15°. [3 т.]

Б) Само една звезда от списъка е от лятно съзвездие. За даден наблюдател тя достига максимална височина (кулминира) точно в полунощ на 5 юли. В колко часа на 16 юли ще кулминира за този наблюдател най-ярката звезда от северната небесна полусфера? [3 т.]

В) Две от звездите в списъка кулминират в рамките на по-малко от 3 минути една след друга. Ако за даден наблюдател една от тези две звезди кулминира в зенита (точно над главата му), то на колко градуса височина кулминира за този наблюдател другата звезда? [3 т.]

Г) Двама наблюдатели са на фиксирани положения по земната повърхност и следят звездите през цялата година. Единият от тях никога не успява да види точно една звезда от списъка, а другият никога не успява да види точно три звезди от списъка. Какво е минималното възможно разстояние между наблюдателите? И двамата наблюдатели имат чист хоризонт, който не е повлиян от планини, сгради и други локални обекти. Земният радиус е 6370 km. [3 т.]

Отговори

Решение

А) Звездите Ригел и Бетелгейзе са в едно и също съзвездие – Орион. Пресмятаме разликите в ректасцензиите им и в деклинациите им

Δα = $05^\mathrm{h}\,55^\mathrm{m}\,10^\mathrm{s}$ – $05^\mathrm{h}\,14^\mathrm{m}\,32^\mathrm{s}$ = 40m 38s = 0,67722 h = 10,158°

Δδ = $07^\circ\,24'$ – $(-08^\circ\,12')$ = 15,6°

Тези разлики са сравнително малки, така че можем да направим приближението, че проекцията на съзвездието Орион се намира в равнина и да пресметнем разстоянието между двете звезди по небето θ по Питагоровата теорема:

\theta = \sqrt{(\Delta\alpha\cos\delta)^2 + (\Delta\delta)^2}

Факторът cos δ се прилага, за да се отчете, че паралелите намаляват с отдалечаване от небесния екватор, обаче съзвездието Орион лежи на небесния екватор, поради което cos δ е близо до 1 и няма нужда да се отчита. Така получаваме

\theta = \sqrt{(10{,}158^\circ)^2 + (15{,}6^\circ)^2} = 18{,}6^\circ

Резултатът е много точен. Грешката поради закривяването на небесната сфера е под 0,5%. [3т.]

Б) Само Вега е от лятно съзвездие. Най-ярката звезда от северната небесна полусфера е Арктур. Ректасцензията на Арктур е с 4h 21m по-малка от тази на Вега, така че Арктур кулминира 4h 21min по-рано от Вега.

Всяка звезда кулминира с 3 min 56 s по-рано всеки следващ ден. Ако Вега кулминира в 00:00 часа на 5 юли, то след 11 дни, на 16 юли, Вега ще кулминира около 11.4 = 44 минути по-рано, т.е. в 23:16 часа. Арктур ще кулминира 4 h 21 min по-рано, т.е. в 18:55 часа. [3т.]

В) Двете звезди в списъка с разлика в ректасцензиите под 3 минути са Капела и Ригел. Разликата в деклинациите им е $46^\circ\,00'$ – $(-08^\circ\,12')$ = $54^\circ\,12'$ . Ако за даден наблюдател една от тези звезди кулминира в зенита, на височина 90°, другата звезда кулминира на височина 90° – $54^\circ\,12'$ = $35^\circ\,48'$ = 35,8°. [3т.]

Г) Най южните три звезди в списъка са Алфа от Кентавър, Ахернар, Канопус. Ако наблюдателите са в северното полукълбо, то за единият от тях само Алфа от Кентавър е неизгряваща, но Ахернар е изгряваща, а за другият и трите са неизгряващи. За да са максимално близо двамата наблюдатели, е необходимо да са на един меридиан и за първият Ахернар да изгрява минимално над точката юг, а за вторият Канопус да докосва точката юг без да изгрява.

Географската ширина на първия наблюдател е 90° − $57^\circ\,14'$ = $32^\circ\,46'$ .

Географската ширина на втория наблюдател е 90° − $52^\circ\,42'$ = $37^\circ\,18'$ .

Разстоянието между наблюдателите по меридиана е равно на разликата в географските им ширини: $37^\circ\,18'$ – $32^\circ\,46'$ = $4^\circ\,32'$ = 4,533°, което е разликата в деклинациите на Ахернар и Канопус. Земният радиус е R = 6370 km. Разстоянието между наблюдателите е

s = \frac{4{,}533}{360}(2\pi R) = 504\ \mathrm{km}

Ако наблюдателите бяха в южното полукълбо и неизгряващите за тях звезди бяха северни, то минималното възможно разстояние щеше да е по-голямо, тъй като разликата в деклинациите на втората и третата най-северна звезда (Вега и Арктур) е по-голяма от разликата в деклинациите на Ахернар и Канопус. [3т.]

Критерии за оценяване (общо 12 т.):

А) 3т. Б) 3т. В) 3т. Г) 3т.

Оригинал в Архива: 26-II-910.pdf · официални решения: a26-II-910.pdf