Съдържание

НОА 2026, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 2. Молекулярен облак

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

XXIX Национална олимпиада по астрономия 2026, Национален кръг, Бургас, възрастова група 11-12 клас, първи тур · 9 май 2026 г. · 14 т.

Условие

Нека да разгледаме голям молекулярен облак на разстояние 320 pc от нас, заемащ 0,48 квадратни градуса по небето. Приемете, че облакът е сферичен, хомогенен с концентрация 500 частици/ $\mathrm{cm^3}$ и е съставен от 80% $\mathrm{H_2}$ и 20% He (масови части). Броят частици включва молекулите на водорода и атомите на хелия.

А) Пресметнете масата на облака. Каква е необходимата температура, за да започне свиване на облака?

Константата на Болцман е $k_B = 1{,}38.10^{-23}$ J/K. Масата на протона е $m_P = 1{,}67.10^{-27}$ kg. [4 т.]

Б) В процеса на бавно свиване облакът претърпява фрагментация и отделните фрагменти колапсират, образувайки протозвезди. Когато младите звездни обекти стъпят на Главната последователност, считаме, че се раждат като звезди в звезден куп. Много от звездните купове се разпръскват сравнително бързо, но нека да предположим, че звездният куп, образуван от облака, който разглеждаме, ще бъде стабилен поне в следващите 70 милиона години. Нека да предположим, че за това време купът е загубил 70% от масата на първоначалния облак.

Назовете 3 типа променливи звезди, които бихме очаквали да наблюдаваме в този обект в тези следващи 70 милиона години. Не изброявайте повече от 3 типа. [2 т.]

В) Оценете интегралната звездна величина на звездния куп след 70 милиона години, както и звездната величина на най-ярката възможна непроменлива звезда в него, ако разстоянието до Земята не се е променило значително и поглъщането е пренебрежимо. За сравнение, Плеядите (интегрална звездна величина 1,5 mag) имат маса $800\mathrm{M_\odot}$ , възраст 100 милиона години и са на разстояние 136 pc. [4 т.]

Г) Какъв е теоретично максималният възможен размер на този звезден куп след 70 милиона години (приливният му диаметър)? Приемете, че разстоянието му до центъра на Галактиката също не се е променило значително и е равно на сегашното разстояние до центъра на Галактиката, което е 8200 pc. [4 т.]

Отговори

Решение

А) Пресмятаме ъгловия размер на облака

\frac{\pi\delta^2}{4} = 0{,}48°

\delta = 0{,}78°

Пресмятаме радиуса на облака

R = \frac{\delta r}{2} = 2{,}18\ \mathrm{pc}

Атомната маса на $\mathrm{H_2}$ е $A_1 = 2$ . Атомната маса на хелия е $A_2 = 4$ . Средната атомна маса в облака е $A = 0{,}8A_1 + 0{,}2A_2 = 2{,}4$ . Моларната маса е средно $\mu = 2{,}4$ g/mol $= 2{,}4.10^{-3}$ kg/mol, а средната маса на частица в облака е $m_0 = Am_p = 3{,}98.10^{-27}$ kg. Ако концентрацията на облака е $c = 2500\ \mathrm{cm^{-3}}$ , то плътността на облака е

\rho = cm_0 = 1{,}99.10^{-18}\ \mathrm{kg/m^3}

Пресмятаме масата на облака

M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho = 2{,}54.10^{33}\,\mathrm{kg} = 1275 M_\odot

Според теоремата за вириала, за кинетичната и гравитационната потенциална енергии в гравитационно-стабилна система важи:

E_K = -1/2\,E_P

Ако приемем, че кинетичната енергия е породена единствено от топлинното движение на частиците, то тя е:

E_K = \left(\frac{3}{2}k_BT\right)N = \left(\frac{3}{2}k_BT\right)\left(\frac{M}{m_0}\right)

Гравитационната потенциална енергия на сферичен хомогенен облак с маса M е:

E_P = -\frac{3GM^2}{5R}

Заместваме и получаваме

\left(\frac{3}{2}k_BT\right)\left(\frac{M}{m_0}\right) = \frac{3GM^2}{10R}

T = \frac{GMm_0}{5k_BR}

или

T = \frac{4\pi GR^2m_0\rho}{15k_B}

Заместваме и получаваме T = 145 K. [4т.]

Б) Възможни отговори са:

Млади звездни обекти: T Tauri, Herbig Ae/Be звезди, FU Ori и др.
Цефеиди (еволюиращи свръхгиганти)
Полуправилни променливи звезди (напр. Бетелгейзе)
Свръхнови (зачита се)
LBV (ярки сини променливи) и Wolf-Rayet звезди – макар и с много малка вероятност

[2т.]

В) При възраст на купа $t_{MS}$ най-масивните звезди на Главната последователност са с маса $M_{MAX}$ :

t_{MS} = \left(\frac{M_{MAX}}{M_\odot}\right)^{-2,5} 10000\ \mathrm{Myr}

За възраст $t_{MS} = 70$ Myr получаваме $M_{MAX} = 7{,}3\mathrm{M_\odot}$ . Това означава, че всички свръхнови вече са избухнали, най-масивните и горещи звезди на Главната последователност са от спектрален клас B (около B2-3) и е възможно купът да съдържа малък брой червени гиганти със сходна светимост, тъй като еволюционните трекове на масивните звезди в началото са хоризонтални. За звезда на ГП с маса $7{,}3\mathrm{M_\odot}$ можем да направим следните оценки: светимост $L \approx 7{,}3^{3,5}\mathrm{L_\odot} \approx 1050\mathrm{L_\odot}$ и абсолютна звездна величина $4{,}8 - 2{,}5\lg(1050) \approx -2{,}8$ mag. На разстояние $r = 320$ pc видимата ѝ звездна величина е приблизително

V = -3{,}6 + 5\lg(r) - 5 = 4{,}7\ \mathrm{mag}

Ако купът е запазил 30% от масата на първоначалния облак, то масата му е $M_C = 0{,}3M = 380\mathrm{M_\odot}$ . Тъй като в слънчеви единици $M/L \gg 1$ за маломасивните звезди и $M/L \ll 1$ за масивните, светимостта на този куп ще зависи главно от малкото на брой масивни звезди. Можем да допуснем, че отношението M/L ще бъде малко ниско от това на Плеядите, които са малко по-възрастни и с по-малък процент сини звезди. Масата на купа, който разглеждаме, е около 2 пъти по-малка от тази на Плеядите, така че нека да допуснем, че светимостта му е приблизително равна на тази на Плеядите. Тогава видимата звездна величина ще бъде приблизително

V = 1{,}5 + 5\lg\left(\frac{320}{136}\right) = 3{,}4

И двете оценки са груби и независими, поради което са с точност около 1 mag. [4т.]

Г) Теоретично максималният възможен размер на звезден куп е $2R_T$ , където $R_T$ е неговият приливен радиус. Известно е, че кръговата скорост в голяма част от Галактиката, вкл. близо до нас, където е този куп, е $v = 220$ km/s, откъдето следва за масата на Галактиката, заключена в радиус r от центъра ѝ, че

M_G(r) = \frac{v^2 r_{GC}}{G}

Можем да напишем условие за приливния радиус на купа, сравнявайки разликата ускоренията $a_0$ и $a_1$ , които Галактиката оказва на центъра и на края на купа, с $a_C$ , с което купът влияе на обектите в края си и отчитайки центробежните сили:

a_0 - a_1 + \omega^2(r_{GC} + R_T) - \omega^2 r_{GC} = a_C

\frac{GM_{G0}}{r_{GC}^2} - \frac{GM_{G1}}{(r_{GC}+R_T)^2} + \frac{v^2}{r_{GC}^2}(r_{GC}+R_T) - \frac{v^2}{r_{GC}^2}r_{GC} = \frac{GM_C}{R_T^{\,2}}

\frac{v^2 r_{GC}}{Gr_{GC}^2} - \frac{v^2(r_{GC}+R_T)}{G(r_{GC}+R_T)^2} + \frac{v^2}{G}\left(\frac{r_{GC}+R_T}{r_{GC}^2} - \frac{1}{r_{GC}}\right) = \frac{M_C}{R_T^{\,2}}

\frac{v^2}{GM_C}\left(\frac{1}{r_{GC}} - \frac{1}{(r_{GC}+R_T)}\right) + \frac{v^2}{GM_C}\left(\frac{R_T}{r_{GC}^2}\right) = \frac{1}{R_T^{\,2}}

Приемеме, че $R_T \ll r_{GC}$

\frac{v^2}{GM_C}\left(\frac{2R_T}{r_{GC}^2}\right) = \frac{1}{R_T^{\,2}}

R_T = \left(\frac{GM_Cr_{GC}^2}{2v^2}\right)^{1/3} = 10{,}5\ \mathrm{pc}

Или максималният възможен размер е 21 pc. В действителност, това изчисление отчита приливните сили от симетричен модел на разпределение на плътността на Галактиката, но поради приливни сили от по-близките обекти, максималният възможен размер е по-малък. [4т.]

Критерии за оценяване (общо 14т.):

А) 4т.: 1,5т. за масата + 2,5т. за температурата
За решение с кръгова скорост (без коеф. 3/5) се дава пълен брой точки.
За решение с втора космическа скорост се отнемат 0,5 точки.
Б) 2т.: 1 верен тип: 0 т., 2 верни типа: 1т., 3 верни типа: 2т.
В) 4т.: за интегралната зв. величина 2т. + за най-ярката звезда 2т.;
Г) 4т.: за пресмятане на приливния диаметър. При директна употреба на формула за материални точки (грешка с фактор $(3/2)^{1/3}$ ) се дават 2/4.

Оригинал в Архива: 26-III-1112.pdf · официални решения: a26-III-1112.pdf