Съдържание

НОА 2026, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 3. Астероид

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

XXIX Национална олимпиада по астрономия 2026, Национален кръг, Бургас, възрастова група 11-12 клас, първи тур · 9 май 2026 г. · 14 т.

Условие

Нека Земята се движи по кръгова орбита с радиус равен на една астрономическа единица. Наблюдател се намира на северната тропична окръжност и в деня на зимното слънцестоене, в полунощ, наблюдава в зенита астероид с диаметър 20 km с ъглова скорост равна на 136,5 дъгови секунди в час. Видимото му движение е точно в посока запад. Астероидът се движи в посока перпендикулярна на зрителния лъч и се намира на разстояние 0,33 au. В момента на наблюдението е точно в опозиция.

А) Къде относно Земята и Слънцето ще се намира астероидът след половин звездна година? [8 т.]

Б) Възможно ли е след половин звездна година астероидът да се наблюдава в зенита и в каква посока ще се движи той за наблюдател на същата тропична окръжност? По кое време на денонощието ще е най-удобен за наблюдение? Какво ще бъде разстоянието до него и каква ще е видимата му ъглова скорост? [4 т.]

В) Нека наблюдателят разполага с телескоп с адаптивна оптика, която позволява да наблюдава с разделителна способност $0{,}1''$ както през нощта, така и при наблюдения на Слънцето. Нека фотометричната апаратура позволява да се измерват разлики от 0,001 от звездната величина. Дали е възможно в някакъв момент от време от наблюдения с този телескоп да се определи положението и скоростта на астероида?

Справочни данни:

Величина	Стойност
Астрономическа единица	$149{,}6\times10^6$ km
Радиус на Земята	6370 km
Наклон на екватора към еклиптиката	$23°26'$
Период на въртене на Земята около оста ѝ	23 h 56 min 4 s
Период на обикаляне на Земята около Слънцето	365,25636 d
Маса на Слънцето	$1{,}989\times10^{30}$ kg
Гравитационна константа	$6{,}6743\times10^{-11}\ \mathrm{N.m^2.kg^{-2}}$

[2 т.]

Отговори

А) Голямата полуос на орбитата на астероида е a = 1 au, наблюдаваме го в афелия, така че периодът му е равен на земния. След половин звездна година (в деня на лятното слънцестоене) астероидът ще е в перихелия си, точно от противоположната страна на Слънцето; Земята също ще е от противоположната страна на орбитата си, така че астероидът ще е разположен на линията Земя – Слънце, на 0,67 au от Слънцето и на 0,33 au от Земята.

v_obs = 30,214 km/s; Δv_ast = 9,075 km/s; v_ast = 21,139 km/s; a = 1,496·10⁸ km = 1 au.
Б) $\omega'_{ast} = \frac{\Delta v'_{ast}}{\Delta r'_{ast}} = 2{,}55226\cdot10^{-7}\ \mathrm{rad/s} = 189{,}5\ \mathrm{arcsec/h}$

Да, астероидът минава през зенита, но в местно слънчево пладне и се вижда на фона на слънчевия диск (пасаж). Движи се отново точно на запад. Разстояние до него 0,33 au; v_per = 41,962 km/s, v'_obs = 29,362 km/s, Δv'_ast = 12,6 km/s, видима ъглова скорост 189,5 arcsec/h.
В) Да. Ъгловият диаметър на астероида в перихелий е α_ast = 4,051207·10⁻⁷ rad = 0″,084 — почти колкото разделителната способност 0,1″ на телескопа, така че астероидът засенчва съществена част от петното на размиване и фотометричната точност 0,001 mag е напълно достатъчна той да бъде открит и проследен пред диска на Слънцето.

α_ast = d_ast/Δr'_ast = 0″,084.

Решение

Щом наблюдателят се намира на северната тропична окръжност, то в полунощ, в деня на зимното слънцестоене, той ще се намира в равнината на еклиптиката. (Тук не отчитаме гравитационното влияние на Луната, чието положение ние не знаем, както и точният момент на зимното слънцестоене, за който не разполагаме с информация.)

Щом астероидът се вижда в зенита за наблюдателя на северната тропична окръжност, то и той се намира в равнината на еклиптиката. Видимото му движение е точно в посока запад откъдето следва, че и орбитата на астероида лежи изцяло в равнината на еклиптиката. Понеже се движи перпендикулярно на лъча на зрение, то астероидът се намира в перихелия или в афелия на своята орбита. Трябва да определим голямата полуос на орбитата на астероида. Това ще направим от уравнението на пълната механична енергия, като преди това ще пресметнем неговата пространствена скорост относно Слънцето.

Движението на астероида е ретроградно. Следователно неговата пространствена скорост е по-малка от скоростта на движение на наблюдателя в пространството. Пространствената скорост на наблюдателя е векторна сума от скоростта на Земята по нейната орбита и от скоростта на наблюдателя около центъра на Земята. В момента на наблюдение наблюдателят се движи в посока изток със скоростта на движение на точка от северната полярна окръжност около земната ос. Скоростите са успоредни и еднопосочни. Следователно скоростта на движение на наблюдателя е алгебрична сума от големините на двете скорости.

Понеже астероидът се движи перпендикулярно на зрителния лъч, то неговата пространствена скорост е успоредна на пространствената скорост на наблюдателя. Тогава видимата ъглова скорост на астероида е равна на разликата в пространствените скорости на наблюдателя и астероида, разделена на разстоянието до астероида. Скоростта на наблюдателя е:

v_{obs} = v_{rev} + v_{eq}\cdot\cos\varepsilon = \sqrt{\frac{GM_S}{r_E}} + \frac{2\pi R_E}{T_{rot}}\cdot\cos\varepsilon = 30{,}214\ km/s

Където:

$v_{rev}$ – линейна скорост на движение на Земята около Слънцето
$v_{eq}$ – линейна скорост на въртене на точка от екватора на Земята
$r_E$ – радиус на земната орбита (приемаме, че е равна на 1 au)
$R_E$ – среден радиус на Земята
$T_{rot}$ – период на завъртане на Земята около своята ос
$\varepsilon$ – географска ширина на северната тропична окръжност, равна на наклона на равнината на екватора на Земята към равнината на еклиптиката.

Линейната скорост на астероида относно наблюдателя е равна на:

\Delta v_{ast} = \omega_{ast}\cdot\Delta r_{ast} = 9{,}075\ km/s

Където:

$\omega_{ast} = 136{,}5\ arcsec/h = 1.838252\cdot10^{-7}\ rad/s$ – е видимата ъглова скорост на астероида относно наблюдателя.

$\Delta r_{ast} = 0{,}33\ au = 49{,}368\cdot10^{6}\ km$ – разстоянието от наблюдателя до астероида (тук приемаме, че радиусът на Земята е пренебрежимо малък в сравнение с разстоянията до Слънцето и до астероида).

Пространствената скорост на астероида, в момента на наблюдението, е:

v_{ast} = v_{obs} - \Delta v_{ast} = 21{,}139\ km/s

За определяне на голямата полуос на орбитата на астероида ще използваме формулата за пълната механична енергия на тяло движещо се по елиптична орбита:

\frac{v^2}{2} - \frac{GM_S}{r} = -\frac{GM_S}{2a}

Където v е скоростта на разстояние r от Слънцето, а a е голямата полуос на орбитата. Записваме уравнението за голямата полуос a:

a = \frac{GM_S}{2}\left(\frac{1}{\frac{GM_S}{r} - \frac{v^2}{2}}\right) = 1{,}496\cdot10^{8}\ km = 1\ au

Където:

a – е голямата полуос на орбитата на астероида.
v – е скоростта $v_{ast} = 21{,}139\ km/s$ на астероида в момента на наблюдението.
$r = r_{ast} = 1{,}33\ au$ – е разстоянието от астероида до Слънцето.

Щом голямата полуос е равна на 1 au, а астероидът е на по-голямо разстояние от Слънцето, то ние го наблюдаваме в афелия на неговата орбита. Периодът на астероида трябва да е равен на периода на движение на Земята по нейната орбита. Следователно след половин звездна година, в деня на лятното слънцестоене, астероидът ще се намира в перихелия на орбитата си, точно от противоположната страна на Слънцето. Но и Земята ще се намира от противоположната страна на орбитата. Астероидът ще бъде разположен на линията Земя – Слънце.

За наблюдател на северната тропична окръжност астероидът ще преминава през зенита в местно слънчево пладне и ще се вижда на фона на слънчевия диск. Ще се наблюдава пасаж на астероида по диска на Слънцето. Астероидът отново ще се движи точно на запад, но този път защото неговата скорост в перихелия на орбитата му ще бъде по-голяма от орбиталната скорост на Земята.

Разстоянието на астероида от Слънцето ще бъде 0,67 au, а разстоянието от Земята – отново 0,33 au. Скоростта на астероида в перихелия може също да бъде пресметната от уравнението за пълната механична енергия, но най-лесно е да я определим като използваме втория закон на Кеплер във вида:

v_{aph}\cdot r_{aph} = v_{per}\cdot r_{per}

Откъдето следва:

v_{per} = v_{aph}\cdot\frac{r_{aph}}{r_{per}} = 41{,}962\ km/s

Където:

$v_{per}$ – е скоростта на астероида в перихелия на неговата орбита
$r_{per}$ – е разстоянието на астероида от Слънцето в перихелия на неговата орбита
$v_{aph}$ – е скоростта на астероида в афелия на неговата орбита
$r_{aph}$ – е разстоянието на астероида от Слънцето в афелия на неговата орбита

В тази конфигурация скоростта на наблюдателя е разлика в скоростите на Земята и на точка от северната тропична окръжност, понеже в подслънчевата точка те се движат в противоположни посоки:

v'_{obs} = v_{rev} - v_{eq}\cdot\cos\varepsilon = \sqrt{\frac{GM_S}{r_E}} - \frac{2\pi R_E}{T_{rot}}\cdot\cos\varepsilon = 29{,}362\ km/s

Скоростта на астероида относно наблюдателя е:

\Delta v'_{ast} = v_{per} - v'_{obs} = 12{,}6\ km/s

Видимата ъглова скорост на движение на астероида в перихелия е:

\omega'_{ast} = \frac{\Delta v'_{ast}}{\Delta r'_{ast}} = 2{,}55226\cdot10^{-7}\ rad/s = 189{,}5\ arcsec/h

Ъгловият размер на астероида в перихелий е:

\alpha_{ast} = \frac{d_{ast}}{\Delta r'_{ast}} = 4{,}051207\cdot10^{-7}\,rad = 0''{,}084

Виждаме, че ъгловият диаметър на астероида е почти колкото разделителната способност на телескопа. Това означава, че астероидът ще засенчва много съществена част от петното на размиване на изображението. Следователно фотометричната точност е напълно достатъчна за да бъде открит и проследен астероидът пред диска на Слънцето.

Критерии за оценяване (общо 14 т.):

А) 8 т.
За правилни разсъждения относно пространственото положение на астероида и неговата орбита – 1 т.
За правилни разсъждения и определяне на скоростта на наблюдателя – 1 т.
За правилни разсъждения и определяне на линейната скоростта на астероида относно наблюдателя – 2 т.
За правилни разсъждения и определяне на пространствената скорост на астероида - 1 т.
За правилно определяне на голямата полуос на орбитата на астероида – 2т.
За правилни разсъждения къде ще бъде астероидът след половин звездна година – 1т.

Б) 4 т.
За правилни разсъждения относно условията на видимост на астероида в перихелий (наблюдаване в зенита, посока на движение, наблюдения в местно пладне) – 1т.
За правилно посочване на разстоянието и определяне на линейната скорост, относителната линейна скорост и на видимата ъглова скорост на астероида – 3т.

В) 2 т.
За определяне на ъгловите размери на астероида – 0,5 т.
За правилни разсъждения относно възможността да се наблюдава астероидът на фона на слънчевия диск – 1,5 т.

Оригинал в Архива: 26-III-1112.pdf · официални решения: a26-III-1112.pdf