НОА 2026, III кръг (национален), 11–12 клас — Задача 4. Средна орбитална скорост

XXIX Национална олимпиада по астрономия 2026, Национален кръг, Бургас, възрастова група 11-12 клас, първи тур · 9 май 2026 г. · 14 т.

Условие

А) Два астероида се движат по кръгови орбити около Слънцето в равнината на земната орбита, в същата посока като Земята, и имат еднакви синодични периоди. Ако сумата на орбиталните скорости на двата астероида е $kv_\oplus$, изразете разликата в орбиталните им скорости с k и $v_\oplus$. Приемете, че Земята се движи около Слънцето по кръгова орбита, с постоянна скорост $v_\oplus$. [4 т.]

Б) Ако орбитата не е кръгова, средната орбитална скорост е свързана с обиколката ѝ. Въпреки че няма проста формула за обиколка на елипса, през 1798 г. Джеймс Айвъри извежда дълга формула, от която може да се направи следното заключение:

Обиколката на елипса с голяма полуос a и малка полуос b е приблизително равна на обиколката на окръжност с радиус r, равен на средноаритметичното на a и b.

Относителната грешка на това приближение расте с ексцентрицитета e като тя е 0,1% за e = 0,50 и 0,7% за e = 0,70. За целите на задачата ще считаме приближението за идеално при e < 0,50.

Два астероида се движат по орбити около Слънцето с еднакъв период, но средната орбитална скорост на единия астероид е с 3% по-малка. Орбитата на първия астероид е кръгова. Какъв е ексцентрицитетът на орбитата на втория астероид? [3 т.]

В) Пресметнете коефициента q, дефиниран в следното твърдение за орбити с малък ексцентрицитет:

В координатна система с център в центъра на орбитата и x-ос, растяща към афелия, точката, в която планетата има скорост, равна на средната орбитална скорост, има x-координата x = qf, където f = ea е фокусното разстояние на орбитата. [4 т.]

Г) Пресметнете на кои дати Земята се движи с орбитална скорост, равна на средната ѝ орбитална скорост. За целта може да приемете, че това се случва, когато Земята пресича малката ос на орбитата си, тъй като разликата от ефекта във В) подусловие е по-малка от 1 ден. Ексцентрицитетът на земната орбита е 0,0167. [3 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: 26-III-1112.pdf · официални решения: a26-III-1112.pdf