Съдържание

НОА 2026, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 4. Плътност на звезди

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

XXIX Национална олимпиада по астрономия 2026, национален кръг, възрастова група 7-8 клас, първи тур · 9 май 2026 г. · 14 т.

Условие

В по-голямата част от живота си звездите произвеждат енергия като превръщат в ядрото си водород в хелий чрез термоядрен синтез. Докато това се случва, звездата е стабилна. Такива звезди се наричат звезди от Главната последователност поради разположението им по диаграмата на Херцшпрунг-Ръсел. Масата на звездата е основният параметър, от който зависи нейният живот. От масата зависят и радиусът, и температурата на звездите от Главната последователност. Температурата на повърхността на звездата е свързана с цвета ѝ и с наблюдавания спектрален клас. От горещи към хладни звезди, спектралните класове са:

O – сини, 2) B – синьо-бели, 3) A – бели, 4) F – жълто-бели,
G – жълти, 6) K – оранжеви, 7) M – червени

Всеки спектрален клас е разделен на 10 подкласа, обозначени от 0 до 9 по реда на намаляване на температурата на звездите. Например, от горещи към хладни последователността е B7, B8, B9, A0, A1, A2…

В таблицата са дадени параметрите маса и радиус (изразени в единици слънчева маса и слънчев радиус) за звезди от Главната последователност, принадлежащи на спектрални класове А, F и G.

Спектрален клас	A1	A3	A5	A7	F1	F3	F5
M [ $M_{\mathrm{СЛ}}$ ]	2,17	1,92	1,86	1,76	1,60	1,41	1,32
R [ $R_{\mathrm{СЛ}}$ ]	2,136	1,861		1,75	1,728	1,578

Спектрален клас	F7	F9	G1	G3	G5	G7	G9
M [ $M_{\mathrm{СЛ}}$ ]	1,21	1,12	1,07	0,99	0,98	0,95	0,89
R [ $R_{\mathrm{СЛ}}$ ]	1,324	1,167		1,002	0,977		0,853

А) Постройте координатна система като по оста Ox нанесете масата, по оста Oy – радиуса. Начертайте графика, която показва зависимостта между масата и радиуса на звездите от Главната последователност в диапазона 0,8 – 2,2 слънчеви маси. [3 т.]

Б) Като използвате получената графика, определете радиусите на звездите от Главната последователност от спектрални класове A5, F5, G1, G7 и попълнете съответните стойности в таблицата. [4 т.]

В) Пресметнете плътностите на звездите от дадените спектрални класове в единици плътност на Слънцето $\rho_{\mathrm{СЛ}}$ и представете получените резултати в таблицата:

Спектрален клас	A1	A7	F7	F9	G5	G9
$\rho$ [ $\rho_{\mathrm{СЛ}}$ ]

[4 т.]

Г) Както виждате, звездите на Главната последователност с по-ниска маса и температура имат по-висока средна плътност. Ако плътността на Слънцето е 1,4 g/cm $^3$ , то звездите от кои спектрални класове имат средни плътности по-малки от тази на водата? [3 т.]

Отговори

Решение

А) На предоставената милиметрова хартия начертаваме графика, като по оста Ох нанасяме стойностите на масата, а по Оу – радиусите на звездите.

Графика с ос Ox M [Mсл] от 0,8 до 2,2 и ос Oy R [Rсл] от 0,8 до 2,4, с нанесени точки и червена плавна крива. — Подусловие А): зависимост радиус–маса за звездите от таблицата с плавна крива през точките.

Прекарваме плавна крива през нанесените точките.

Б) За да намерим търсените радиуси, използваме интерполация: издигаме перпендикуляри от съответните стойности на масата по оста Ох. От точките, в които тези перпендикуляри пресичат прекараната крива, спускаме перпендикулярни линии към вертикалната ос. На графиката е показан резултатът:

Същата графика с добавени пунктирни линии и отбелязани точки A, B, C и D върху кривата. — Подусловие Б): графично отчитане чрез интерполация на радиусите на звездите A, B, C и D.

Означили сме звездите с неизвестните радиус с A, B, С и D, в ред на нарастване на тяхната маса. Получаваме следните стойности:

Звезда	A	B	C	D
M [ $M_{\mathrm{сл}}$ ]	1,86	1,32	1,07	0,95
R [ $R_{\mathrm{сл}}$ ]	1,81	1,46	1,10	0,93

В) Ако една звезда има маса $M$ и радиус $R$ , нейната плътност се пресмята по формулата:

\rho = \frac{3M}{4\pi R^3}

От тук следва, че плътността на всяка от дадените звезди може да се изрази като част от плътността на Слънцето по следния начин:

\rho\,[\rho_{\mathrm{сл.}}] = \frac{M}{M_{\mathrm{сл}}}\left(\frac{R_{\mathrm{сл}}}{R}\right)^{3}

От тук пресмятаме търсените плътности:

Спектрален клас	А1	А7	F7	F9	G5	G9
$\rho$ [ $\rho_{\mathrm{сл}}$ ]	0,22	0,33	0,52	0,70	1,05	1,43

Г) От таблицата забелязваме, че плътността на звездите от Главната последователност монотонно намалява с нарастване на тяхната маса. Плътността на водата е 1 g/cm $^3$ или приблизително $0.71\rho_{СЛ}$ . От таблицата също така можем да видим, че звездите от спектрален клас F9 средна плътност много близка до тази. Това означава, че всички звезди от Главната последователност, които са с по-високи температури от тях имат по-ниска средна плътност от тази на водата. Те принадлежат към спектрални класове F, A, B и О.

Критерии за оценяване (общо 14т.)::

А) 3т
За равномерно разграфени оси - 0,5т
За надписи на осите – 0,5т
За правилно нанесени всички точки – 1,5т.
За прекарана плавна крива през точките – 0,5т
Б) 4т.
За правилно използване метода интерполация за графично намиране на търсените радиуси – 2т.
За правилно получени числени стойност (допустимо отклонение 0,02Rсл) – 2т. (по 0,5т всяка)
В) 4т.
За правилна формула за средната плътност на звезда – 1т.
За правилен израз за средната плътност на звезда, изразена, чрез средната плътност на Слънцето – 1т.
За правилно получени стойности на средните плътности – 2т.
Г) 3т.
За пресмятане на плътността на водата като част от средната плътност на Слънцето – 1т.
За правилен извод относно това към кой спектрален клас принадлежат звездите, чиято средна плътност е равна на тази на водата – 1т.
За правилен извод, че звездите от спектрални класове F, A, B и O имат средна плътност по-ниска от тази на водата – 1т.

Оригинал в Архива: 26-III-78.pdf · официални решения: a26-III-78.pdf