Съдържание

НОА 2026, III кръг (национален), 7–8 клас — Задача 2. Собствени движения

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

XXIX Национална олимпиада по астрономия 2026, национален кръг, възрастова група 7-8 клас, първи тур · 9 май 2026 г. · 14 т.

Условие

За кратки периоди от време (до десетки хиляди години) звездите по небето изглеждат неподвижни една спрямо друга за невъоръжено око и формите на съзвездията привидно се запазват. В действителност, обаче, звездите се движат спрямо нас в космоса и компонентата на скоростта настрани (перпендикулярно на зрителния лъч Слънце-звезда) поражда малък темп на отместване (ъглова скорост) по небето, наречен собствено движение. Собственото движение се бележи с гръцката буква мю ( $\mu$ ). Ако собственото движение $\mu$ на звезда е в дъгови секунди на година ( $''$ /yr), а разстоянието $r$ до нея в парсеци (pc), то тангенциалната ѝ скорост в km/s е:

v_T = 4{,}74\mu r

За подусловия А), Б), В) да се пренебрегне движението на Земята около Слънцето, т.е. да се приеме, че наблюдателят е в Слънцето. Напомняме, че $1° = 3600''$ .

А) Най-високо собствено движение измежду известните звезди има звездата на Барнард. Тя бяга спрямо другите звезди по небето с цели $10{,}4''$ /yr. За колко години звездата на Барнард би пресякла планетарната мъглявина M27, ако минаваше централно пред нея? Размерът на M27 е 0,9 парсека, а разстоянието до нея е 390 парсека. [3 т.]

Б) Звезда A е на 25 pc от нас и се движи със скорост 50 km/s спрямо Слънцето. Пресметнете собственото движение на звезда A, ако знаете, че скоростта на отдалечаване на звездата от нас (т.нар. радиална скорост) е 30 km/s. [4 т.]

В) Често звездите с високо собствено движение са единствените по рода си в полето на телескоп, тъй като повечето звезди са на много големи разстояния и собствените им движения са близо до 0. Дадено ви е поле с ъглов размер $200''\times200''$ , заснето през 8 години. В полето има една звезда (звезда B) с високо собствено движение. Разстоянието до звездата B е 7,1 pc. Радиалната скорост на звездата е 0 km/s, т.е. звездата се движи изцяло настрани (перпендикулярно на направлението Слънце-звезда). Пресметнете скоростта ѝ спрямо Слънцето в пространството. [4 т.]

Две квадратни звездни полета едно до друго, надписани „май 2016 г.“ и „май 2024 г.“; една от звездите е на различно място в двете снимки. — Полето с ъглов размер $200''\times200''$ , заснето през май 2016 г. (вляво) и през май 2024 г. (вдясно).

Г) Нека да си представим планета около звезда C, много близка до Слънцето, така че наблюдателите оттам виждат същите съзвездия като нас. Звезда C се движи с много висока скорост в посока към Полярната звезда. Кои 3 от изброените съзвездия ще изкривяват формата си най-бързо за наблюдателите на тази планета: Касиопея, Орел, Малка мечка, Дева, Дракон, Южен кръст, Риби? Посочете имената на точно три съзвездия и дайте кратко обяснение. [3 т.]

Отговори

Решение

А) Размерът на мъглявината M27 е $D = 0{,}9$ pc, а разстоянието до нея е $r = 390$ pc. Ъгловият ѝ размер е

\delta = \frac{D}{r} = 0{,}0023\ \mathrm{rad} = 0{,}132° = 476''

С ъглова скорост $10{,}4''$ /yr това разстояние по небето се изминава за време

t = \frac{\delta}{\mu} = \frac{476''}{10{,}4''/\mathrm{yr}} = 45{,}8\ \mathrm{yr}

Б) Пълната пространствена скорост е свързана с тангенциалната и радиалната скорост чрез Питагоровата теорема, тъй като те са нейните компоненти съответно перпендикулярно на лъча на зрение и по лъча на зрение:

v^2 = v_T{}^2 + v_R{}^2

Оттук можем да пресметнем тангенциалната скорост на звездата A:

v_{AT} = \sqrt{v_A{}^2 - v_{AR}{}^2} = 40\ \mathrm{km/s}

Заместваме в дадената формула и получаваме собственото движение на звездата A:

\mu_A = \frac{v_{AT}}{4{,}74 r_A} = 0{,}34''/\mathrm{yr}

В) Идентифицираме звездата, която се движи видимо спрямо останалите и я прерисуваме максимално точно като положение от едното изображение на другото. Положението е указано с червено кръстче. Измерваме ъгловото разстояние между старото и новото положение (отбелязано със синя отсечка) с линия и мащабираме, използвайки, че страната на квадрата е $200''$ . Получаваме ъглово отместване $23{,}5''$ за интервал от 8 yr. Собственото движение е $23{,}5''/8\ \mathrm{yr} = 2{,}94''/\mathrm{yr}$ .

Тъй като радиалната скорост на звездата е 0, пълната пространствена скорост е равна на тангенциалната. Тя е:

v_B = 4{,}74\mu_B r_B = 99\ \mathrm{km/s}

Обосновани отговори от 85 до 115 km/s се награждават с пълния брой точки.

Двете звездни полета с червено кръстче и синя отсечка, отбелязващи преместването на бързата звезда. — Решение на подусловие В): с червено кръстче е указано положението на звездата от 2016 г., пренесено върху снимката от 2024 г., а със синя отсечка – измереното ъглово отместване.

Г) Ако сме в звездна система, която се движи с много висока скорост към северния небесния полюс, то тангенциалните скорости на звездите близо до небесните полюси ще са малки, а на звездите близки до небесния екватори – големи. Поради това, по-бързо ще се изкривяват формите на съзвездията, близки до екватора. От изброените, това са:

Орел, Дева, Риби

Критерии за оценяване (общо 14т.):

А) 3т.
За пресмятане на ъглов размер на М27 (или друга първа стъпка, напр. получаване на линейна скорост, проектирана на това разстояние): 1,5т.
За получаване на времето за пресичане на М27: 1,5 т.
Б) 4т.
За получаване на тангенциалната скорост по Питагорова теорема: 2т.
За получаване на собственото движение: 2т.
В) 4т.
За коректен краен резултат с до 15% грешка: 4т.
За коректен краен резултат с от 15% до 30% грешка: 2т.
Г) 3т.: По 1т. за всяко вярно посочено съзвездие. По 1 наказателна точка за всяко допълнително посочено съзвездие след третото.

Оригинал в Архива: 26-III-78.pdf · официални решения: a26-III-78.pdf