Съдържание

НОА 2026, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 1. Разрез на планета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

XXIX Национална олимпиада по астрономия 2026, Национален кръг, Бургас, възрастова група 9-10 клас, първи тур · 9 май 2026 г. · 14 т.

Условие

На Фиг 1. (след текстовете на условията) ви е даден опростен модел на вътрешния строеж на планета: графика на плътността в $\mathrm{g/cm^3}$ като функция на разстоянието до центъра на планетата в $\mathrm{km}$ .

(отпечатано след подусловията) Гравитационна константа: $6{,}67{.}10^{-11}\ \mathrm{N.m^2/kg^2}$

Стъпаловидна графика на плътността спрямо радиуса: около 10,8 до ~1680 km, 7,2 до ~3520 km, 4,0 до ~4360 km и 1,1 до ~5830 km. — Фиг. 1 към задача 1. Плътност $[\mathrm{kg}\cdot m^{-3}\times 10^3]$ като функция на радиуса $[\mathrm{km}]$ .

А) Пресметнете масата на планетата в земни маси. Масата на Земята е $5{,}97{.}10^{24}\ \mathrm{kg}$ . [4 т.]

Б) Пресметнете средната плътност на планетата, в $\mathrm{g/cm^3}$ . [2 т.]

В) Пресметнете гравитационното ускорение $g_0$ на повърхността на планетата (разстояние R от центъра) и гравитационното ускорение $g_{1/2}$ на разстояние R/2 от центъра ѝ. [4 т.]

Г) Пресметнете скоростта на избягване от повърхността на планетата (втора космическа скорост). [2 т.]

Д) От какво може да е съставен повърхностният слой на планетата? [2 т.]

Отговори

Решение

Графиката от Фиг. 1 с отбелязани четирите слоя — ядро, мантия, кора и океан — и положението на $R_{1/2}$. — Графиката от Фиг. 1 с отбелязани четирите слоя — ядро, мантия, кора и океан — и положението на $R_{1/2}$ .

А) Забелязваме, че планетата е разделена на 4 слоя. Нека ги кръстим условно: ядро, мантия, кора и океан. За всеки от слоевете по графиката измерваме вътрешен радиус, външен радиус и плътност. Резултатите от измерванията са представени в таблица.

Слой	вътр. радиус $R_1$ [km]	външен радиус $R_2$ [km]	плътност [g/cm $^3$ ]	маса на слоя $M_i$ [kg]
ядро	0	1680	10,8	$2{,}14{.}10^{23}$ kg
мантия	1680	3520	7,2	$1{,}17{.}10^{24}$ kg
кора	3520	4360	4,0	$6{,}58{.}10^{23}$ kg
океан	4360	5830	1,1	$5{,}31{.}10^{23}$ kg

За всеки от тези концентрични слоеве пресмятаме масата като използваме формулата за обем на сфера и маса = плътност.обем:

M_i = \frac{4}{3}\pi\left(R_2{}^3 - R_1{}^3\right)\rho

Сумираме масите на слоевете и получаваме маса на планетата $M = 2{,}58{.}10^{24}\ \mathrm{kg}$ , което са 0,43 земни маси.

Б) Радиусът на планетата е границата на най-външния слой. От графиката той е приблизително $R = 5830\ \mathrm{km}$ . Средната плътност е цялата маса, разделена на целия обем:

\rho = \frac{3M}{4\pi R^3} = 3{,}1\ \mathrm{g/cm^3}

В) Гравитационното ускорение на повърхността на планетата е

g = \frac{GM}{R^2} = 5{,}05\ \mathrm{m/s^2}

Гравитационното ускорение на разстояние R/2 от центъра по същата формула е

g_{1/2} = \frac{GM_{1/2}}{(R/2)^2}

В тази формула $M_{1/2}$ е масата, заключена в радиус $R/2 = 2915\ \mathrm{km}$ от центъра на планетата. Пресмятаме я по същия начин, както $M$ - сумираме масата на ядрото и на мантията, само до разстояние 2915 km. Получаваме $M_{1/2} = 8{,}18{.}10^{23}\ \mathrm{kg}$ и $g_{1/2} = 6{,}42\ \mathrm{m/s^2}$ .

Г) Скоростта на избягване от повърхността на планетата е:

v_{II} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 7{,}7\ \mathrm{km/s}

Д) Плътността на повърхностния слой е близо до $1\ \mathrm{g/cm^3}$ , така че вероятно той е съставен от молекули на леки елементи. Може да се спекулира, че е от вода, т.е. че наистина това е океан, обаче много дълбок – около 1500 km вместо 3-4 km като океаните на Земята.

Критерии за оценяване (общо 14т.):

А) 4т. за измервания, формула за обем на сфера и получаване на масата, вкл. 2,5т. за коректен числен резултат за масата в рамките на 10%

Б) 2т. за пресмятане на средната плътност

В) 4т.: 1,5 т. за формула за g, 0,5т. за резултат + 2т. за пресмятане на $g_{1/2}$

Г) 2т.: 1,5т. за формула за втора космическа скорост, 0,5т. за резултат

Д) 2т. за съображения относно състава на повърхностния слой

Оригинал в Архива: 26-III-910.pdf · официални решения: a26-III-910.pdf