НОА 2026, III кръг (национален), 9–10 клас — Задача 3. Елена и Николай

• А) Не. Максималната деклинация, която може да има центърът на лунния диск, за да бъде Луната поне частично в плътната сянка, е $\delta_{MAX} = \varepsilon + \frac{\beta+\theta_\text{Л}}{2} \approx 24°23'$, а реалната деклинация на Луната ($\delta_\text{Л} = \varphi = 25°17'$) е по-голяма с почти един градус.

  Междинни резултати: $X \approx 1{,}38$ млн km, $d \approx 9\ 216$ km, $\beta \approx 82'{,}5$, $\theta_\text{Л} \approx 31'{,}3$.

• Б) Обсерваторията на Елена: $\lambda_E \approx 103°47'\mathrm{E}$, $\varphi_E \approx 1°18'\mathrm{N}$ — точката се намира в Сингапур. Обсерваторията на Николай: $\lambda_N = 51°32'\mathrm{E}$, $\varphi_N = 61°11'\mathrm{N}$ — точката се намира в република Коми в Русия.

  Разстоянието от Доха до паралела с $\varphi'_{MIN}$ излиза $d \approx 3\ 996$ km, което съвпада с подсказката на Николай за 4 000 km.

А) От това, че Луната се намира в зенита за наблюдател в Доха, следва, че нейната деклинация $\delta_\text{Л}$ е равна на географската ширина на катарската столица $\varphi = 25°\ 17'$.

За да преценим дали е възможно в този момент Елена и Николай да наблюдават лунно затъмнение, трябва да намерим видимите ъглови размери на Луната $\theta_\text{Л}$ и на плътната сянка на Земята (на нейното сечение, през което Луната преминава) - $\beta$.

На долния чертеж са показани Слънцето, Земята и плътната сянка на Земята (областта, в която Слънцето се вижда изцяло закрито от нашата планета).

Нека въведем следните означения:

$D_\text{СЛ}$ – диаметър на Слънцето

$D_\text{З}$ – диаметър на Земята

$r$ – разстояние Земя-Слънце

$X$ – разстояние от центъра на Земята до върха на Земята сянка

$r_\text{ЗЛ}$ – разстояние Земя-Луна

От подобието на триъгълници OAB и OCD следва че:

От тук получаваме:

На следващата схема, с $d$ е означен диаметърът на сечението от земната сянка, през което преминава Луната по време на лунно затъмнение.

Използвайки подобието на триъгълниците OCD и OFG, можем да запишем следното равенство:

Следователно:

Видимият ъглов размер на този диаметър за земен наблюдател е:

Видимият ъглов размер на Луната за същия наблюдател е:

Максималната възможна деклинация на центъра на земната сянка е равна на наклона на еклиптиката спрямо небесния екватор $\varepsilon = 23°\ 26'$.

Това означава, че максималната деклинация, която може да има центърът на лунния диск, за да бъде Луната поне частично в плътната сянка е:

За съжаление, при това положение, Елена и Николай няма как да наблюдават лунно затъмнение, защото реалната деклинация на Луната е по-голяма с почти един градус.

Б) Понеже Елена е дама, то първо ще намерим координатите на нейната обсерватория ☺. Тъй като те наблюдават пълната Луна точно в зенита, то местното слънчево време в Доха е 0:00 (местна полунощ).

Тя казва, че в същия момент местното слънчево време за нейното работно място е 3h 29min. Това означава, че географската дължина на нейната обсерватория е:

Елена също казва, че обсерваторията, в която тя работи се намира на разстояние s=145km северно от мястото, от което на 22 септември може да наблюдава най-краткият изгрев на Слънцето. Това място е някоя точка от екватора, защото там Слънцето изгрява перпендикулярно на хоризонта, а в деня на равноденствие то се намира на небесния екватор, т.е. има най-голяма видима ъглова скорост.

Следователно, географската ширина на обсерваторията е:

Точката с тези географски координати се намира в Сингапур ☺.

Сега нека намерим и координатите на обсерваторията, в която работи Николай.

Той казва, че от неговата обсерватория Луната може да бъде неизгряващо светило.

Нека да намерим възможно най-малката географска ширина, от която това може да се случи $\varphi_{MIN}$.

Ако с $i$ означим наклона на лунната орбита спрямо еклиптиката, то максималната южна деклинация на Луната е $\delta_{MIN} = -(\varepsilon+i) = 28°\ 35'$.

На чертежа Луната е показана в положението, в което има именно такава деклинация.

Наблюдателят в точка N има търсената ширина $\varphi_{MIN}$. Можем да запишем, че:

От тук намираме, че:

Тук би следвало да отчетем още два фактора:

• Видимият ъглов размер на Луната $\theta_\text{Л}$

• Рефракцията на хоризонта $\rho$.

Поради тяхното влияние, търсената минимална географска ширина действително е:

Нека да пресметнем разстоянието d между Доха и най-близката точка от паралел, който има ширина $\varphi'_{MIN}$. Може да запишем:

Николай казва, че неговата обсерватория се намира приблизително на 4 000 km от Доха, което е много близко до полученото. Но тъй като от нейното местоположение, Луната може да се наблюдава като неизгряващо светило, можем да заключим, че тя е на същия меридиан както столицата на Катар (т.е. има същата географска дължина) и лежи на паралел с географска ширина $\varphi'_{MIN}$.

Координатите на обсерваторията, в която работи Николай са: $\lambda_N = 51°32'E;\ \varphi_N = 61°11'N$.

Тази точка се намира в република Коми в Русия.

Критерии за оценяване (общо 14т.):

А) 8т.

- За намиране на деклинацията на Луната - 0,5т.

- За правилни геометрични съображения, от които може да се намери максималното ъглово отстояние между центъра на лунния диск и център на земната сянка, при положение, че се наблюдава лунно затъмнение – 5т.

- За намиране на максималната възможна деклинация на центъра на земната сянка – 1т.

- За съобразяване на максималната деклинация, която може да има центърът на Луната, за да се наблюдава лунно затъмнение – 1т.

- За правилен извод – 0,5 т.

Б) 6т.

- За правилни разсъждения за географската ширина на обсерваторията на Елена и верен числен резултат – 1т.

- За правилни разсъждения за географската дължина на обсерваторията на Елена и верен числен резултат – 1т.

- За намиране на най-ниската географска ширина, от която Луната може да бъде неизгряващо светило – 2т.

- За намиране на най-краткото разстояние между Доха и паралел с такава географска ширина – 1т.

- За окончателно съобразява на координатите, на които се намира обсерваторията на Николай – 1т.

Разбира се, ако ученикът не е назовал точните имена на държавите, в които се намират двете обсерватории не се отнемат точки ☺.