НОА 2026, IV кръг — Задача 3. Двойна екзопланета

Купа „Урания“ 2026 г. · 15 т.

Условие

Около звезда от спектрален клас K5 се движи двойна планета на 0.4 астрономически единици от звездата. Звездата има светимост $L = 0{,}15L_S$, където $L_S$ е светимостта на Слънцето, ефективна температура $T = 4350K$ и маса $M = 0{,}67M_S$, където $M_S$ е масата на Слънцето.

Двойната планета се състои от планета подобна на Уран с маса $M = 15M_E$, където $M_E$ е масата на Земята, и радиус $R = 25500\ \mathrm{km}$, и по-малка планета, подобна на Земята, която обикаля около голямата планета за $12^{\mathrm{d}}\ 02^{\mathrm{h}}\ 17^{\mathrm{m}}\ 10^{\mathrm{s}}$. Равнината на орбитата на по-малката планета лежи в равнината на орбитата на голямата планета около звездата. Пасажите са централни.

А) Когато започва първият наблюдаван пасаж на двойната планетата по диска на звездата по-малката планета е точно на орбитата на голямата планета, като я изпреварва и навлиза първа върху диска на звездата. Нека началото на този пасаж се случва във време $T = 0^{\mathrm{h}}$ UT. Нарисувайте къде върху диска на звездата ще се проектират двете планети след 5 часа. Приемете, че по време на пасажа взаимното разположение на планетите не се променя. Кога ще приключи пасажа. [6 т.]

Б) Определете с колко се променя потока от звездата по време на пасажа, като нарисувате схематично как изглежда кривата на блясъка в единици на поток, в подходящ мащаб. Обозначете върху рисунката амплитудата на кривата в моментите на промяна на потока.

Приемете, че вашият приемник на светлина може да отчита промени от една десетохилядна от потока. [4 т.]

В) Кога при следващия пасаж голямата планета ще се намира в центъра на диска на звездата. Нарисувайте проекцията на двете планети върху диска на звездата в този момент, като работите с възможно най-голяма точност.

Представяйте времената с точност до секунда.

Всички орбити са кръгови и лъчът на зрение лежи в тяхната равнина.

Упътване: Работете с голяма точност, но където е възможно използвайте подходящи приближения, които няма да променят съществено крайния резултат.

Справочни данни:

Величина	Стойност
Астрономическа единица	149597870,700 km
Гравитационна константа	$6{,}67430\cdot10^{-11}\ \mathrm{m^3{\cdot}kg^{-1}{\cdot}s^{-2}}$
Маса на Слънцето	$1{,}988475\cdot10^{30}$ kg
Ефективна температура на Слънцето	5772 K
Радиус на Слънцето	695700 km
Маса на Земята	$5{,}97217\cdot10^{24}$ kg
Среден радиус на Земята	6371,0 km
Продължителност на сидеричната година	$365{,}256363^{\mathrm{d}}$

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: 26-urania.pdf · официални решения: a26-urania.pdf