НОА 2026, IV кръг — Задача 4. Гравитационна микролеща

Купа „Урания“ 2026 г. · 18 т.

Условие

Едно от следствията от Общата теория на относителността е, че масата закривява пространството и светлината пътува по най-краткия път през това огънато пространство. Ако на пътя между наблюдател и далечна звезда премине малка звезда или кафяво джудже (леща), това ще накара светлинните лъчи от далечния обект да се закривят и по-голяма част от тях да достигнат наблюдателя, водейки до повишение в блясъка. Това явление се нарича гравитационна микролеща. В случай, че около звездата-леща има планета, е възможно тя също да се озове по лъча на зрение между наблюдателя и задната звезда, създавайки втори, по-малък пик в кривата на блясъка. Този метод е третият най-разпространен за откриване на екзопланети, като към момента броят на регистрираните чрез него екзопланети е 278. Едно от най-големите му предимства е, че при него селективният ефект към по-големи маси не е толкова изразен, позволявайки да се откриват планети, подобни на Земята.

Дадена ви е крива на блясъка на непроменлива звезда на заден фон, пред която преминава такава звезда-леща, кръстена OGLE-2005-BLG-390L с координати $\alpha = 17^{\mathrm{h}}54^{\mathrm{m}}19.2^{\mathrm{s}}$ и $\delta = -30°22'38''$, на 6,6 kpc от нас. Наблюдаваният втори, малък пик (увеличен горе вдясно на фигурата) е породен от планета, за която се предполага, че обикаля около звездата-леща по кръгова орбита с радиус 2,6 au с орбитален период 3500 d. Приемете, че по време на събитието планетата е близо до квадратура (т.е. направлението звезда-планета е перпендикулярно на зрителния лъч).

Обикновено от Земята наблюдаваме промяна на яркостта на точков източник при микролещите. Ако имахме техника с извънредно висока разделителна способност, щяхме да засечем как допълнителната светлина идва предимно от т.нар. „пръстен на Айнщайн“ – малък кръг, проектиран около лещата. Ако $d_S$ и $d_L$ са разстоянията до източника и до лещата, то формулата за ъгловия радиус на пръстена на Айнщайн е:

$\theta_E = \sqrt{\frac{4GM(d_S-d_L)}{c^2d_Sd_L}}$

А) Факторът на увеличение $A$ дава с колко пъти се повишава наблюдаваният поток благодарение на лещата спрямо базовия поток (без леща). Ако положим $u = \delta/\theta_E$, където $\delta$ е ъгловото разстояние между лещата и източника, то можем да използваме приближението

$A = \frac{u^2+2}{u\sqrt{u^2+4}}$

Това приближение обикновено не дава добри резултати за зоната на кривата на блясъка около пика, тъй като ъгловите размери на обектите, а и фитирането на данните оказват влияние. Въпреки това, то може успешно да бъде използвано за основата на повишението по кривата на блясъка (т.е. за крилата). Използвайки горната формула, пресметнете колко радиуса на Айнщайн е ъгловото разстояние между лещата и източника, когато лъчистият поток е усилен с 10%. [2 т.]

Б) Измерете времевите интервали, за които звездата-леща и планетата-леща повишават блясъка с над 10%. [2 т.]

В) Използвайте съображенията и резултатите в подусловия А) и Б), за да пресметнете масата на планетата в земни маси. [5 т.]

Г) По масата на лещата се предполага, че тя е М4-джудже с фотосферна температура 3210 K и радиус 0,275 слънчеви радиуса.

Ако допуснем, че Бонд-албедото на планетата е 50%, пресметнете средната температура на повърхността ѝ. [3 т.]

Д) Светлината от лещата е пренебрежима спрямо светлината от източника и се губи в нея. Нека проверим дали бихме могли да засечем толкова слаб обект, ако източникът не съществуваше. Ако лещата е М4-джудже, най-удобният филтър, в който да се опитаме да го засечем, е филтър K. Защо е така? Във филтър K екстинкцията на звездите в галактичния център е 3,0 mag. За спектрален клас M4V болометричната корекция във филтър K е $BC_K = 2{,}74$. Пресметнете видимата звездна величина на звездата-леща във филтър K. [4 т.]

Е) Има около 4% вероятност лещата да не е М4-звезда, а бяло джудже. Ако е така, то дали K е най-подходящият филтър, в който да се опитаме да засечем светлината от лещата. Ако не K, то кой?

Справочни данни:

Величина	Стойност
Гравитационна константа	$6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{m^3{\cdot}kg^{-1}{\cdot}s^{-2}}$
Маса на Слънцето	$1{,}99\cdot10^{30}$ kg
Ефективна температура на Слънцето	5772 K
Радиус на Слънцето	696000 km
Маса на Земята	$5{,}97\cdot10^{24}$ kg
Абсолютна болометрична звездна величина на Слънцето	4,75 mag

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: 26-urania.pdf · официални решения: a26-urania.pdf