Съдържание

НОА 2026, Купа „Урания“ — Задача 4. Гравитационна микролеща

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

Купа „Урания“ 2026 г. · 18 т.

Условие

Едно от следствията от Общата теория на относителността е, че масата закривява пространството и светлината пътува по най-краткия път през това огънато пространство. Ако на пътя между наблюдател и далечна звезда премине малка звезда или кафяво джудже (леща), това ще накара светлинните лъчи от далечния обект да се закривят и по-голяма част от тях да достигнат наблюдателя, водейки до повишение в блясъка. Това явление се нарича гравитационна микролеща. В случай, че около звездата-леща има планета, е възможно тя също да се озове по лъча на зрение между наблюдателя и задната звезда, създавайки втори, по-малък пик в кривата на блясъка. Този метод е третият най-разпространен за откриване на екзопланети, като към момента броят на регистрираните чрез него екзопланети е 278. Едно от най-големите му предимства е, че при него селективният ефект към по-големи маси не е толкова изразен, позволявайки да се откриват планети, подобни на Земята.

Информационна графика с background star, foreground star, телескоп и крива на видимия блясък във функция от времето. — Схема на гравитационното микролещене: далечна звезда на заден фон, звезда-леща на преден план, изображението, регистрирано от телескопа, и получената крива на блясъка.

Дадена ви е крива на блясъка на непроменлива звезда на заден фон, пред която преминава такава звезда-леща, кръстена OGLE-2005-BLG-390L с координати $\alpha = 17^{\mathrm{h}}54^{\mathrm{m}}19.2^{\mathrm{s}}$ и $\delta = -30°22'38''$ , на 6,6 kpc от нас. Наблюдаваният втори, малък пик (увеличен горе вдясно на фигурата) е породен от планета, за която се предполага, че обикаля около звездата-леща по кръгова орбита с радиус 2,6 au с орбитален период 3500 d. Приемете, че по време на събитието планетата е близо до квадратура (т.е. направлението звезда-планета е перпендикулярно на зрителния лъч).

Обикновено от Земята наблюдаваме промяна на яркостта на точков източник при микролещите. Ако имахме техника с извънредно висока разделителна способност, щяхме да засечем как допълнителната светлина идва предимно от т.нар. „пръстен на Айнщайн“ – малък кръг, проектиран около лещата. Ако $d_S$ и $d_L$ са разстоянията до източника и до лещата, то формулата за ъгловия радиус на пръстена на Айнщайн е:

\theta_E = \sqrt{\frac{4GM(d_S-d_L)}{c^2d_Sd_L}}

Графика на A спрямо дни с изразен пик около 0, вложена панела с планетарната девиация между 9,5 и 11 дни и легенда OGLE, Robonet, Canopus, Danish, Perth, MOA. — Крива на блясъка (фактор на увеличение A) на събитието OGLE-2005-BLG-390 в дни спрямо 31.0 юли 2005 UT; в горния десен ъгъл е увеличена планетарната девиация, а горе вляво – дългосрочните OGLE данни.

А) Факторът на увеличение $A$ дава с колко пъти се повишава наблюдаваният поток благодарение на лещата спрямо базовия поток (без леща). Ако положим $u = \delta/\theta_E$ , където $\delta$ е ъгловото разстояние между лещата и източника, то можем да използваме приближението

A = \frac{u^2+2}{u\sqrt{u^2+4}}

Това приближение обикновено не дава добри резултати за зоната на кривата на блясъка около пика, тъй като ъгловите размери на обектите, а и фитирането на данните оказват влияние. Въпреки това, то може успешно да бъде използвано за основата на повишението по кривата на блясъка (т.е. за крилата). Използвайки горната формула, пресметнете колко радиуса на Айнщайн е ъгловото разстояние между лещата и източника, когато лъчистият поток е усилен с 10%. [2 т.]

Б) Измерете времевите интервали, за които звездата-леща и планетата-леща повишават блясъка с над 10%. [2 т.]

В) Използвайте съображенията и резултатите в подусловия А) и Б), за да пресметнете масата на планетата в земни маси. [5 т.]

Г) По масата на лещата се предполага, че тя е М4-джудже с фотосферна температура 3210 K и радиус 0,275 слънчеви радиуса.

Ако допуснем, че Бонд-албедото на планетата е 50%, пресметнете средната температура на повърхността ѝ. [3 т.]

Д) Светлината от лещата е пренебрежима спрямо светлината от източника и се губи в нея. Нека проверим дали бихме могли да засечем толкова слаб обект, ако източникът не съществуваше. Ако лещата е М4-джудже, най-удобният филтър, в който да се опитаме да го засечем, е филтър K. Защо е така? Във филтър K екстинкцията на звездите в галактичния център е 3,0 mag. За спектрален клас M4V болометричната корекция във филтър K е $BC_K = 2{,}74$ . Пресметнете видимата звездна величина на звездата-леща във филтър K. [4 т.]

Е) Има около 4% вероятност лещата да не е М4-звезда, а бяло джудже. Ако е така, то дали K е най-подходящият филтър, в който да се опитаме да засечем светлината от лещата. Ако не K, то кой?

Справочни данни:

Величина	Стойност
Гравитационна константа	$6{,}67\cdot10^{-11}\ \mathrm{m^3{\cdot}kg^{-1}{\cdot}s^{-2}}$
Маса на Слънцето	$1{,}99\cdot10^{30}$ kg
Ефективна температура на Слънцето	5772 K
Радиус на Слънцето	696000 km
Маса на Земята	$5{,}97\cdot10^{24}$ kg
Абсолютна болометрична звездна величина на Слънцето	4,75 mag

[2 т.]

Отговори

А) $\frac{u^2+2}{u\sqrt{u^2+4}} = 1{,}1 \Rightarrow u = 1{,}67$
Б) t₁ = 37 d за звездата-леща и t₂ = 0,37 d за планетата-леща.

t₁ се отчита като сечение на кривата с A = 1,1; t₂ – като моментите, в които A е повишено с 0,14 над пунктираната линия във вложената панела (базовото ниво там е около 1,4).
В) $\frac{M_P}{M_S} = \left(\frac{t_2}{t_1}\right)^2,\quad M_S = \frac{r^3}{T^2} = 0{,}19M_\odot \Rightarrow M_P = 6{,}3M_E$

Приетата стойност е много близка: около 5,5 земни маси.
Г) $T_P = T_S\left(\frac{1-A}{4}\frac{R_S^2}{r_P^2}\right)^{1/4} = 42\ \mathrm{K} = -231°\mathrm{C}$
Д) $L/L_\odot = 0{,}00724,\ M = 10{,}10,\ M_K = 7{,}36,\ A_K = 2{,}41,\ m = M + 5\lg d_L - 5 + A_K = 23{,}9\ \mathrm{mag}$

K е най-подходящият филтър, защото е най-дълговълновият широко използван стандартен филтър в близкия инфрачервен диапазон, а звездата е хладна; в оптични филтри величината би била над 30 mag.
Е) K отново би бил най-подходящият филтър: макар белите джуджета да са по-горещи и да излъчват много по-силно в оптичния диапазон, на такова голямо разстояние в посока към центъра на галактиката лъчите претърпяват толкова силна селективна екстинкция (почервеняване), че K остава най-подходящ.

Решение

Решение:

А) Повишението на потока е 10%, т.е. амплификацията е 1,1. Решаваме за $u$ :

A = \frac{u^2+2}{u\sqrt{u^2+4}} = 1{,}1

Получаваме u = 1,67, т.е. когато ъгловото разстояние между източника и лещата е 1,67 радиуса на Айнщайн, блясъкът е повишен с 10% над базовия. [2т.]

Б) Измерваме времевия интервал, за който звездата-леща повишава блясъка с 10% като пресечем кривата с A = 1,1. Получаваме t₁ = 37 d.

Измерваме времевия интервал, за който планетата-леща повишава блясъка с 10% като горе вдясно засечем моментите, в които A е повишено над пунктираната линия с 0,14 (тъй като базовото ниво е около 1,4 заради звездата-леща). Получаваме t₂ = 0,37 d. [2т.]

Същата крива на блясъка на OGLE-2005-BLG-390 със зелени хоризонтални и вертикални линии, отбелязващи нивата и моментите на 10% повишение. — Отчитане на времевите интервали по кривата на блясъка: със зелено са означени сечението с A = 1,1 (t₁ = 37 d) и съответните моменти във вложената панела за планетарната девиация (t₂ = 0,37 d).

В) В израза за ъгловия размер на радиуса на Айнщайн всички разстояния са еднакви за звездата-леща и за планетата-леща

\theta_E = \sqrt{\frac{4GM(d_S-d_L)}{c^2d_Sd_L}}

Оттук, ако ги сравним с почленно разделяне на горната формула, получаваме

M \propto \theta^2

Тъй като събитието е близо до квадратура, орбиталната скорост на планетата има пренебрежим принос към тангенциалната скорост и към ъгловата скорост по небето. Следователно, ъгловите скорости на планетата-леща и на звездата леща са практически равни. Тъй като

\theta = \omega t

Следва че

\theta \propto t

M \propto t^2

Така, записваме

\frac{M_P}{M_S} = \left(\frac{t_2}{t_1}\right)^2

Масата на звездата намираме от III Закон на Кеплер в au, yr и сл. маси:

M_S = \frac{r^3}{T^2} = 0{,}19M_\odot

Пресмятаме и получаваме $M_P = 6{,}3M_E$ . [5т.]

Приетата стойност е много близка: около 5,5 земни маси.

Г) Ако планетата е с радиус $R_P$ , проекцията на площта, с която поема лъчите от звездата е $\pi R_P^2$ , а $(1-A)$ е частта от лъчистата енергия, която задържа и използва за поддържане на термодинамично равновесие. Мощността на топлинното ѝ лъчение трябва да е

P = \frac{L}{4\pi r_P^2}(1-A)\pi R_P^2

От закона на Стефан-Болцман

P = 4\pi R_P^2\sigma T_P^4

L = 4\pi R_S^2\sigma T_S^4

Заместваме и получаваме

4\pi R_P^2\sigma T_P^4 = \frac{4\pi R_S^2\sigma T_S^4}{4\pi r_P^2}(1-A)\pi R_P^2

T_P^4 = \frac{R_S^2T_S^4}{4r_P^2}(1-A)

T_P = T_S\left(\frac{(1-A)}{4}\frac{R_S^2}{r_P^2}\right)^{1/4} = 42\ \mathrm{K} = -231°\mathrm{C}

[3т.]

Д) По закона на Стефан-Болцман пресмятаме светимостта на звездата-леща в слънчеви светимости:

\frac{L}{L_\odot} = \left(\frac{R}{R_\odot}\right)^2\left(\frac{T}{T_\odot}\right)^4 = 0{,}00724

По формулата на Погсън пресмятаме абсолютната болометрична звездна величина като сравняваме със Слънцето

M = 4{,}75 - 2{,}5\lg\left(\frac{L}{L_\odot}\right) = 10.10

Прилагайки болометричната корекция за K, получаваме абсолютна звездна величина във филтъра $M_K = 10{,}10 - 2{,}74 = 7{,}36$ mag.

От координатите е видимо, че звездата е в посока, близка до галактичния център, но малко по-близо: на 6,6 kpc, докато той е на 8,2 kpc. Приемайки, че екстинкцията е пропорционална на разстоянието в дадена посока, екстинкцията на звездата би била $A_K = (3{,}0\ \mathrm{mag})(6{,}6/8{,}2) = 2{,}41$ mag. Пресмятаме видимата звездна величина в K:

m = M + 5\lg d_L - 5 + A_K = 23{,}9\ \mathrm{mag}

Такава звездна величина може да се достигне с много големи телескопи в оптични филтри, но е много трудно да се достигне в K-филтър на 2,2 микрона, където фонът на небето е висок. Все пак, K е най-подходящият филтър за целта, тъй като е най-дълговълновият широко използван стандартен филтър в близкия инфрачервен диапазон. В оптични филтри, където междузвездната екстинкция е по-голяма, звездната величина би била над 30 mag. Това, че звездата е хладна и излъчва по-силно в инфрачервения диапазон, също е фактор. [4т.]

Е) Белите джуджета са по-горещи и излъчват много по-силно в оптичния диапазон. Обаче на такова голямо разстояние в посока към центъра на галактиката лъчите претърпяват толкова силна селективна екстинкция (почервеняване), че K отново би бил най-подходящият филтър. [2т.]

Оригинал в Архива: 26-urania.pdf · официални решения: a26-urania.pdf