Съдържание

НОА 2026, IV кръг — Задача 2. Спектрални наблюдения на галактики

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

Подборен кръг за IOAAjr 2026 — Практически тур, 6 юли 2026 г. · 6 юли 2026 г. · 20 т.

Условие

Една от най-важните спектрални линии в съвременната астрономия е 21 cm линия на неутралния водород. Тя се получава когато електронът във водородния атом промени посоката на спина си, при което се излъчва фотон с честота ν = 1420.4 Hz. Чрез нея ние можем да проследим движението на множество облаци неутрален водород, разположени в галактичната равнина, и да определим тяхната пространствена скорост. Това е един от основните методи за получаване на кривата на въртене на Галактиката – зависимостта на скоростта на въртене от разстоянието до центъра.

Представете си, че наблюдавате излъчването от облаците неутрален водород за фиксирано направление в равнината на галактиката. Приемете, че всички водородни облаци се движат по кръгови орбити около галактичния център със скорости, равни на слънчевата: $v(r) = v_{\odot} = 230\ \mathrm{km/s}$ .

Графика B: интензитет спрямо честотата (Frequency + 1420 MHz) с червена пунктирана линия на честотата на покой при 0,4; широк профил с няколко пика от −0,1 до 0,4 и два по-ниски пика около 0,5–0,6. — B

Графика C: интензитет спрямо честотата (Frequency + 1420 MHz) с червена пунктирана линия на честотата на покой при 0,4; два високи пика около 0,17 и 0,37 и по-нисък пик около 0,65. — C

Графика D: интензитет спрямо честотата (Frequency + 1420 MHz) с червена пунктирана линия на честотата на покой при 0,4; единичен тесен пик точно при честотата на покой. — D

А) Намерете израз за максималната лъчева скорост, която бихте засекли от такъв облак, за дадена галактична дължина ℓ, ако 0° < ℓ < 90°. [2 т.]

Б) Намерете израз за минималната лъчева скорост, която бихте засекли от такъв облак, за дадена галактична дължина ℓ, ако 90° < ℓ < 180°. [2 т.]

Упътване: Слънцето се движи в посока ℓ = +90° около Галактичния център. Във финалните буквени изрази използвайте като променливи само $v_{\odot}$ и ℓ.

В) Дадени са ви 4 графики, показващи зависимостта на интензитета на излъчването на облаците в дадено направление от честотата. Всяка графика е направена при наблюдение на конкретна галактична дължина, като за графики A, B и C тя е в интервала 0° < ℓ < 90°, а за графика D е над 90°. Определете максимално точно галактичната дължина, на която съответства всяка графика.

Упътване: За по-точни резултати направете измерванията си в точката, където сигналът е спаднал до 50% спрямо максималната стойност на подходящия пик. [8 т.]

Графика A: интензитет (Intensity (Arbitrary Units)) спрямо честотата (Frequency + 1420 MHz, от −0,9 до 1,7) с легенда Data и Hydrogen Line Rest Frequency (червена пунктирана линия при 0,4); висок пик около 0,38 и по-нисък пик около 0,72. — A

Друга изключително важна линия е Hα = 6562,8 Å. Тя се получава при преход на електрон от n = 3 към n = 2 енергетично ниво, при което се излъчва оптичен фотон. Тази линия се използва за изучаване на широк набор от обекти и явления – емисионни мъглявини, протуберанси на Слънцето, магнитна активност на звезди, определяне на темп на звездообразуване (SFR) в галактики и много други. В тази задача ще изчислите на каква дължина на вълната бихме я наблюдавали в галактиката Слънчоглед (NGC 5055 / M63).

Даден ви е негатив на снимка на галактиката, направена в Kitt Peak National Observatory, както и крива на лъчевата скорост по голямата полуос на M63 като функция на разстоянието от центъра. Стойностите по тази графика са отместени с константа така, че лъчевата скорост на центъра на M63 да е 0 km/s. Разстоянието до M63 е 7,9 Mpc. Приемете, че пекулярната ѝ скорост е пренебрежима. Въртенето на галактиката е по часовника.

Г) Определете за какво време звездите в квадратчето ще направят една пълна обиколка около центъра на М63. [5 т.]

Д) От тези звезди е наблюдавана емисия в Hα (коригирана за въртенето на Земята около Слънцето и на Слънцето около центъра на Млечния път). Изчислете каква ще бъде наблюдаваната ѝ дължина на вълната. [3 т.]

Източници

Негатив на снимка на спиралната галактика M63 с малко квадратче в долната лява част на диска и стрелка за мащаб с надпис 8.18' по цялата ширина на снимката отдолу.

Графика на скоростта V_c (km s⁻¹, от 0 до 250) спрямо R (kpc, от 0 до 50) с данни THINGS (запълнени точки) и Battaglia et al (2006) (кръгчета) с ленти на грешките; скоростта нараства бързо до около 200 km/s и остава приблизително постоянна.

Earwicker et al. (2026). Reconstructing the Milky Way with the 21 cm hydrogen line. https://agiseti.com/assets/files/ReconstructingTheMilkyWay_Instructor.pdf

de Blok et al. (2008). High-Resolution Rotation Curves and Galaxy Mass Models from THINGS. The Astronomical Journal, Volume 136, Issue 6, pp. 2648-2719, 10.48550/arXiv.0810.2100

Решение

Решение:

А+Б) За да определим максималната (по модул) лъчева скорост за дадена галактична дължина ℓ, е необходимо да разгледаме 2 случая. На двата чертежа по лъча на зрение е обозначен облакът, съответстващ на максималната лъчева скорост за $0°<\ell<90°$ и на минималната за $90°<\ell<180°$ .

Два чертежа на Галактиката с концентрични окръжности (орбитата на Слънцето с радиус r_sun и орбитата на облака с радиус r): вляво случаят 0° < ℓ < 90° с червена пунктирана линия на зрение, допирателна към вътрешната окръжност, вектори v и v_sun и ъгъл ℓ; вдясно случаят 90° < ℓ < 180° с червена пунктирана линия на зрение до външната окръжност, вектори v и v_sun, радиус r и ъгъл ℓ.

Ако приемем, че всички облаци се движат с еднаква пространствена скорост, равна на скоростта на Слънцето около Галактичния център ( $v_\odot=230$ km/s), то в интервала $0°<\ell<90°$ най-голяма лъчева скорост ще има облакът, за който направлението ℓ е допирателна към орбитата му. Това е така, защото в този случай пространствената скорост на облака ще лежи изцяло по лъча на зрение. Тогава формулата за максималната лъчева скорост ще бъде:

v_{r,max}=v(r)-v_\odot\sin\ell \approx v_\odot(1-\sin\ell)

В този случай $v_{r,max}$ винаги ще е по-голямо от 0, тъй като $0°<\ell<90°$ , така че облакът ще бъде червено отместен.

От втория чертеж се вижда, че в интервала $90°<\ell<180°$ облакът с най-малка лъчева скорост ще е най-далечният, който можем да видим. Това е така, защото лъчевата скорост за произволно разстояние r ще бъде разликата между проекциите на v и $v_\odot$ по направлението ℓ. Когато облакът се намира максимално далеч от центъра на Галактиката, то той ще се движи почти перпендикулярно спрямо лъча на зрение (тангенциалната му скорост ще бъде пълната му пространствена). Тогава лъчевата му скорост ще бъде:

v_{r,max}=-v_\odot\sin\ell

За този интервал от стойности на ℓ $v_{r,max}$ винаги ще е отрицателно, така че облакът ще бъде синьо отместен.

В) Тъй като графики A-C са в интервала $0°<\ell<90°$ и облакът се вижда червено отместен, то трябва да намерим лъчевата скорост, която отговаря на най-малка честота. За всяка графика отбелязваме най-червено отместения пик и, следвайки упътването, измерваме честотата, съответстваща на спад в интензитета на 50% спрямо този на пика.

Графики A и B от условието (интензитет спрямо Frequency + 1420 MHz, червена пунктирана линия на честотата на покой при 0,4) с червена точка на 50% от най-червено отместения пик и черна пунктирана вертикална линия към оста на честотата: при около 0,31 за A и около −0,11 за B.

Графика C от условието (интензитет спрямо Frequency + 1420 MHz, червена пунктирана линия при 0,4) с червена точка на 50% от най-червено отместения пик и черна пунктирана вертикална линия при около 0,09.

Получаваме стойности за честотите: $v_A=1420{,}31$ MHz, $v_B=1419{,}89$ MHz, $v_C=1420{,}09$ MHz.

Използваме формулата за ефект на Доплер и записваме, че

\frac{v_0}{v_{obs}}=1+\frac{v_{r,max}}{c}

Оттук пресмятаме, че максималната лъчева скорост за всяка една графика е: $v_{A,max}=19$ km/s, $v_{B,max}=107{,}8$ km/s, $v_{C,max}=65{,}5$ km/s.

Накрая можем да използваме получената формула от А), за да определим галактичната дължина за всяка фигура:

\ell=\arcsin\left(1-\frac{v_{r,max}}{v_\odot}\right)

Получава се, че галактичната дължина за графика А е $\ell_A=66{,}5°$ , за графика B е $\ell_B=32{,}1°$ и за графика C е $\ell_C=45{,}7°$ (истинските стойности са $70°, 30°$ и $50°$ , така че нашите резултати са много близки).

За да определим галактичната дължина на фигура D не е необходимо да правим допълнителни измервания. Достатъчно е да забележим, че пикът е симетричен спрямо лабораторната честота и няма никакво червено или синьо отместване. Това означава, че минималната лъчева скорост спрямо нас по това направление е 0. Тъй като тази фигура отговаря на $\ell>90°$ , сравнявайки с формулата, получена от А), виждаме, че това е възможно единствено за $\ell=180°$ . Именно това е галактичната дължина, на която е получена графика D.

Г) За да намерим периода за една пълна обиколка около центъра на М63, е необходимо да определим разстоянието на звездите от него и скоростта, с която се движат. По изображението измерваме, че те са на $l=10.3$ mm от него. Също имаме, че на $\theta_0=8.18'$ отговарят $l_0=24.2$ mm (за учениците $l$ и $l_0$ ще се различават). Използвайки мащаба на изображението, определяме, че ъгловото им отстояние на звездите от центъра на галактиката е:

\theta=\theta_0\frac{l}{l_0}=3.48'=1.013\times10^{-3}\ \mathrm{rad}

От даденото ни разстояние до М63 изчисляваме, че истинското физическо разстояние от тях до центъра е:

r_c=d\theta=8000\ \mathrm{pc}

Също имаме дадена графика на ротационната лъчева скорост на галактиката като функция от разстоянието r от центъра ѝ. Чрез нея измерваме скоростта, която отговаря на разстояние $r_c$ . Получава се, че тя е $v_{r,c}=210$ km/s. Тази скорост обаче не е коригирана за наклона на галактиката $i$ . От снимката на M63 се вижда, че лъчът на зрение не е разположен в равнината на галактиката, а тя е наклонена към нас. Можем да измерим наклона като определим отношението между малката и голямата ѝ полуос.

Чертеж на наклонения диск на галактиката: стрелка „наблюдател“ по хоризонтална линия на зрение към наклонена елипса с голяма полуос a, проекция b, ъгъл i между линията на зрение и стрелка, перпендикулярна на диска, и ъгъл 90-i; вдясно — елипсата, както се вижда от наблюдателя, с полуоси a и b.

От чертежа се вижда, че

\cos i=\frac{b}{a}

В милиметри $2b=59$ mm и $2a=108$ mm, съответно $i\approx57°$ .

Оттук пресмятаме пълната пространствена скорост на звездите в квадратчето:

v_c=\frac{v_{r,c}}{\sin i}=250.7\ \mathrm{km/s}

Периодът за едно пълно завъртане около центъра на галактиката съответно е:

T_c=\frac{2\pi r_c}{v_c}=1.97\times10^{8}\ \mathrm{yr}

Д) За да изчислим пълната наблюдавана лъчева скорост на точките в квадратчето, е необходимо да отчетем и това, че галактиката се отдалечава от нас. Тъй като пекулярната ѝ скорост е пренебрежима, то тя има пространствена скорост единствено поради разширението на Вселената. Използваме закона на Хъбъл, за да изчислим нейната стойност:

v_r=H_0d=553\ \mathrm{km/s}

където сме приели $H_0=70\ \dfrac{\mathrm{km}}{\mathrm{s.Mpc}}$ .

Тъй като M63 се върти по часовниковата стрелка, то звездите в квадратчето се отдалечават от нас. Следователно трябва към горната скорост да прибавим лъчевата скорост заради въртенето около центъра на галактиката. Финално получаваме, че

v_{r,f}=v_r+v_{r,c}=763\ \mathrm{km/s}

Използваме формулата за ефект на Доплер, за да изчислим финалната наблюдавана дължина на вълната за Hα:

\lambda_{obs}=\lambda_0\left(1+\frac{v_{r,f}}{c}\right)=6579.5\ \mathrm{\AA}

Критерии за оценяване (общо 20т.):

А) общо 2т.
1т. – за правилен чертеж и разсъждения относно положението на облака с максимална лъчева скорост
1т. – за правилен буквен израз

Б) общо 2т.
1т. – за правилен чертеж и разсъждения относно положението на облака с минимална лъчева скорост
1т. – за правилен буквен израз

В) общо 8т.
1т. – за съобразяване, че за графики А-С трябва да се вземе пика, отместен на най-малка честота
1т. – за правилно записана формула за ефект на Доплер
3x0.5т. – за измерване на честотите, съответстващи на 50% от интензитета за графики А-C (допуска се отклонение до 0.3MHz)
3x1т. – за определяне на галактичните дължини на графики А-C (1т. за отклонение до 5°, 0.5т. за отклонение до 7°)
1т. – за правилни разсъждения относно липсата на червено отместване на пика на графика D
0.5т. – за правилно определяне на галактичната дължина на графика D

Г) общо 5т.
1т. – за правилното определяне на ъгловото отстояние на звездите в квадратчето от центъра на галактиката
1т. – за изчисляване на истинското физическо разстояние до центъра $r_c$
1т. – за измерване на ротационната лъчева скорост, съответстваща на $r_c = 8kpc$
1т. – за определяне на наклона i на галактиката и отчитане на ефекта му върху скоростта на въртене
1т. – за изчисляване на периода за едно пълно завъртане около галактичния център

Д) общо 3т.
1т. – за използване на закона на Хъбъл за определяне на скоростта на отдалечаване на галактиката
1т. – за съобразяване, че финалната лъчева скорост е сума на скоростта на отдалечаване и ротационната лъчева скорост
1т. – за използване на формулата за ефект на Доплер и определяне на наблюдаваната дължина на вълната

Оригинал в Архива: 26-IV-pr.pdf · официални решения: a26-IV-pr.pdf