Съдържание

НОА 2026, Купа „Урания“ — Задача 3. Двойна екзопланета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОА 2026

Купа „Урания“ 2026 г. · 15 т.

Условие

Около звезда от спектрален клас K5 се движи двойна планета на 0.4 астрономически единици от звездата. Звездата има светимост $L = 0{,}15L_S$ , където $L_S$ е светимостта на Слънцето, ефективна температура $T = 4350K$ и маса $M = 0{,}67M_S$ , където $M_S$ е масата на Слънцето.

Двойната планета се състои от планета подобна на Уран с маса $M = 15M_E$ , където $M_E$ е масата на Земята, и радиус $R = 25500\ \mathrm{km}$ , и по-малка планета, подобна на Земята, която обикаля около голямата планета за $12^{\mathrm{d}}\ 02^{\mathrm{h}}\ 17^{\mathrm{m}}\ 10^{\mathrm{s}}$ . Равнината на орбитата на по-малката планета лежи в равнината на орбитата на голямата планета около звездата. Пасажите са централни.

А) Когато започва първият наблюдаван пасаж на двойната планетата по диска на звездата по-малката планета е точно на орбитата на голямата планета, като я изпреварва и навлиза първа върху диска на звездата. Нека началото на този пасаж се случва във време $T = 0^{\mathrm{h}}$ UT. Нарисувайте къде върху диска на звездата ще се проектират двете планети след 5 часа. Приемете, че по време на пасажа взаимното разположение на планетите не се променя. Кога ще приключи пасажа. [6 т.]

Б) Определете с колко се променя потока от звездата по време на пасажа, като нарисувате схематично как изглежда кривата на блясъка в единици на поток, в подходящ мащаб. Обозначете върху рисунката амплитудата на кривата в моментите на промяна на потока.

Приемете, че вашият приемник на светлина може да отчита промени от една десетохилядна от потока. [4 т.]

В) Кога при следващия пасаж голямата планета ще се намира в центъра на диска на звездата. Нарисувайте проекцията на двете планети върху диска на звездата в този момент, като работите с възможно най-голяма точност.

Представяйте времената с точност до секунда.

Всички орбити са кръгови и лъчът на зрение лежи в тяхната равнина.

Упътване: Работете с голяма точност, но където е възможно използвайте подходящи приближения, които няма да променят съществено крайния резултат.

Справочни данни:

Величина	Стойност
Астрономическа единица	149597870,700 km
Гравитационна константа	$6{,}67430\cdot10^{-11}\ \mathrm{m^3{\cdot}kg^{-1}{\cdot}s^{-2}}$
Маса на Слънцето	$1{,}988475\cdot10^{30}$ kg
Ефективна температура на Слънцето	5772 K
Радиус на Слънцето	695700 km
Маса на Земята	$5{,}97217\cdot10^{24}$ kg
Среден радиус на Земята	6371,0 km
Продължителност на сидеричната година	$365{,}256363^{\mathrm{d}}$

[5 т.]

Отговори

Решение

Решение:

Нека определим радиуса на звездата. Ще използваме закона на Стефан-Болцман като сравним параметрите на звездата с тези на Слънцето:

\frac{R_{st}}{R_S} = \left(\frac{T_S}{T}\right)^2\cdot\sqrt{\frac{L}{L_S}} = 0{,}6819

R_{st} = 0{,}6819\cdot R_S = 474397\ km

От третия закон на Кеплер в съкратен вид намираме периода на планетата около звездата. Тук пренебрегваме масите на планетите, защото те са на 5 порядъка по-малки от масите на звездите:

\left(\frac{T_{pl}}{T_E}\right)^2 = \left(\frac{a_{pl}}{a_E}\right)^3\cdot\frac{M_S}{M} = 0{,}09552

T_{pl} = 0{,}3090\cdot T_E = 112{,}889^d

Да определим линейната скорост на планетата по нейната орбита:

v_{pl} = \frac{2\pi a_{pl}}{T_{pl}} = \frac{2\pi 0{,}4a_E}{T_{pl}} = \frac{2\pi 0{,}4\cdot 1au}{T_{pl}} = 38{,}548\ \frac{km}{s}

Времето за което планетата изминава диаметъра на диска на звездата е:

t_{st} = \frac{2R_{st}}{v_{pl}} = 24613{,}5^s = 6^h50^m13^s

Времето за което планетата изминава диаметъра на голямата планета е:

t_{pl} = \frac{2R_{pl}}{v_{pl}} = 1323^s = 22^m03^s

Времето за което планетата изминава диаметъра на малката планета е:

t_{pl2} = \frac{2R_{\mathrm{E}}}{v_{pl}} = 330{,}55^s = 5^m30{,}55^s

Нека да определим радиуса на относителната орбита на малката планета около голямата:

a_{pl2} = \left[T_{pl2}^2\cdot\frac{G(M_{pl}+M_E)}{4\pi^2}\right]^{1/3} = 560856{,}66\ km

Времето за което планетата би изминала разстоянието между двете планети е:

t_{12} = \frac{a_{pl2}}{v_{pl}} = 14549{,}6^s = 4^h02^m29{,}6^s

Продължителността на пълния пасаж на двойната планета е:

t_{pas} = t_{st} + t_{12} + \frac{1}{2}\left(t_{pl2}+t_{pl}\right) = 11^h06^m29{,}37^s

Следователно пасажът на двете планети ще приключи в $11^h\,06^m\,29{,}37^s$ часа.

За 5 часа планетата ще измине по диска на звездата разстояние $l_5$ :

\frac{l_5}{D_{st}} = \frac{5^h}{t_{st}} = \frac{5}{6{,}8370}\quad\text{и следователно}\quad l_5 = 0{,}731321\,D_{st} \approx 0{,}73D_{st}

Малката планета ще подмине средата на диска на звездата и ще доближи западния край на диска. За да получим положението на центъра на планетата това разстояние трябва да се намали с радиуса на малката планета защото в началото тя изцяло е извън диска на звездата:

l_5' = l_5 - \frac{R_E}{D_{st}} = 0{,}724606\,D_{st} \approx 0{,}725\,D_{st}

Голямата планета ще следва по малката със закъснение от време $t_{12}$ . Аналогично на последната сметка, получаваме че то съответства на разстояние $l_{12}$ равно на 0.5911 от диаметъра на диска на звездата:

\frac{l_{12}}{D_{st}} = \frac{t_{12}}{t_{st}} = \frac{4^h02^m29{,}6^s5}{6{,}8370^h}\ =>\ l_{12} = 0{,}5911\,D_{st} \approx 0{,}59D_{st}

Разстоянието на голямата планета от началото на диска е $l_1 = l_5' - l_{12} = 0{,}13\,D_{st}$ .

Построяваме видимия диск на звездата и нанасяме положенията на планетите върху диска. Размерите на изображенията на планетите не са съобразени с размерите на диска на звездата.

Голяма окръжност (дискът на звездата) с две точки върху хоризонталния диаметър и означени разстояния 0.13 D_st и 0.725 D_st. — Проекция на двете планети върху диска на звездата 5 часа след началото на пасажа: голямата планета на 0,13 D_st, малката – на 0,725 D_st от източния край на диска. Размерите на изображенията на планетите не са съобразени с размерите на диска на звездата.

Потокът светлина от звездата се променя поради това, че планетите засенчват част от нея, когато преминават пред диска на звездата. Степента на засенчване се определя от отношението на площта на диска на планетата към площта на диска на звездата. Това отношение е пропорционално на отношението на квадратите на радиусите. В случая на двойна планета ще има три степени на понижение на блясъка – при пасаж на малката планета, при пасаж на голямата планета и при пасаж на двете планети. Да определим каква част от светлината се засенчва при всеки от тези случаи:

При пасаж на малката планета:

\Delta\varphi_{pl2} = \frac{S_{pl2}}{S_{st}} = \frac{R_E^2}{R_{st}^2} = (0{,}01343)^2 = 1{,}8036\cdot10^{-4} \approx 1{,}8\cdot10^{-4}

Амплитудата на кривата на блясъка е само около 2 десетохилядни от потока.

При пасаж на голямата планета:

\Delta\varphi_{pl} = \frac{S_{pl}}{S_{st}} = \frac{R_{pl}^2}{R_{st}^2} = (0{,}0537186)^2 = 2{,}88569\cdot10^{-3} \approx 2{,}9\cdot10^{-3}

Амплитудата на кривата на блясъка е около 3 хилядни от потока.

При пасаж на двете планети върху диска на звездата:

\Delta\varphi_{12} = \frac{S_{pl}+S_{pl2}}{S_{st}} = \frac{R_{pl}^2+R_{pl2}^2}{R_{st}^2} = 3{,}066044\cdot10^{-3} \approx 3{,}1\cdot10^{-3}

Стъпаловидна крива на блясъка с плитко първо стъпало, дълбоко дъно и по-плитко второ стъпало, с означени амплитуди. — Схематична крива на блясъка при пасажа с трите степени на понижение: Δφ₁ = 0,0002, Δφ₁₂ = 0,0031 и Δφ₂ = 0,0029.

Ние наблюдаваме двойна планета едната от които е 15 пъти по-тежка от другата. Това, което се движи по орбита около звездата с период $T_{pl}$ , е центърът на масите на планетите, докато те обикалят около него с период $T_{pl2} = 12^d\,02^h\,17^m\,10^s$ . Разположението на планетите по диска на звездата зависи в каква фаза са планетите в своето орбитално движение около общия център на масите. Нека да проверим как са ориентирани планетите след точно една обиколка около звездата. За целта разделяме периода на обикаляне на планетите около звездата на периода на обикаляне на планетите около общия център на масите:

\frac{T_{pl}}{T_{pl2}} = \frac{112{,}889^d}{12{,}095255^d} = 9{,}33333

Оттук следва, че след един орбитален период около звездата планетите са извършили 9 обиколки и една трета, около центъра на масите. В началото ориентацията на планетите бе в направление перпендикулярно на лъча на зрение. Сега линията, която ги свързва, се е завъртяла на 120 градуса относно началната ориентация.

Две схеми на орбитата с наблюдател отдолу: вляво планетите са перпендикулярно на лъча на зрение, вдясно линията им сключва 120° с орбитата. — Ориентация на линията, свързваща двете планети, спрямо лъча на зрение: в началото перпендикулярна, а след една обиколка около звездата – завъртяна на 120°.

В началния момент голямата планета и центъра на масите са извън диска на звездата. Център на масите се намира от голямата планета на 1/16 от разстоянието между планетите. При втората конфигурация проекцията на центъра на масите се намира на половината от това разстояние поради това, че линията свързваща планетите сключва с лъча на зрение ъгъл равен на 30°.

Центърът на масите отстои от голямата планета на времеви интервал:

\Delta t_{mc} = \frac{t_{12}}{16} = 0{,}252597^h = 0^h15^m09{,}35^s

При ъгъл 30°, относно лъча на зрение, това време намалява два пъти.

Следователно, освен пълен оборот около звездата, има допълнително време за да застане центърът на масите в такава позиция, че голямата планета да е в центъра на диска на звездата. Преместването на центъра на масите в правилната позиция изисква той да измине допълнително разстояние за интервал време:

\Delta t = t_{12} - \Delta t_{mc} + \frac{t_{pl2}}{2} + \frac{t_{st}}{2} - \frac{\Delta t_{mc}}{2}

\Delta t = t_{12} + \frac{t_{pl2}}{2} + \frac{t_{st}}{2} - \frac{3\Delta t_{mc}}{2} = 7{,}137040^h = 0{,}2973766^d

За времето, когато голямата планета ще застане в центъра на диска на звездата, след един оборот около нея, получаваме:

t_{pl} + \Delta t = 112{,}889 + 0{,}2973766 = 113{,}1864^d = 113^d4^h28^m25^s

Проекцията на разстоянието между планетите е два пъти по-малка от самото разстояние и отношението на отстоянието ѝ от центъра на диска към радиуса на диска е равно на отношението $t_{12}/t_{st} = 0{,}59$ . Тогава планетите ще се виждат от наблюдателя пред диска на звездата по следния начин:

Окръжност с голяма планета в центъра и малка планета вляво от нея върху хоризонталния диаметър. — Проекция на двете планети върху диска на звездата в момента, когато голямата планета е в центъра на диска; малката планета е на 0,59 от радиуса на диска.

Оригинал в Архива: 26-urania.pdf · официални решения: a26-urania.pdf