Съдържание

НОФ 2001, III кръг (национален) — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2001

Национална олимпиада по физика 2001, национален кръг, теоретичен кръг · 26 май 2001 г.

Условие

Сърцевината на трансформатор има формата на тънък пръстен с обиколка $l = 1$ m и лице на напречното сечение $S = 10^{-2}$ m $^2$ (фиг. 2). Първичната намотка има $N_1 = 1000$ навивки, а вторичната — $N_2 = 10\,000$ навивки. Материалът, от който е изработена сърцевината, има относителна магнитна проницаемост $\mu_r = 5000$ . Съпротивлението на двете намотки може да се пренебрегне. Към краищата на първичната намотка е подадено променливо напрежение с честота $\nu = 50$ Hz и ефективна стойност $U_1 = 1000$ V. Магнитната константа е $\mu_0 = 4\pi{.}10^{-7}$ H/m.

Пръстеновидна сърцевина с обиколка $l$ и напречно сечение $S$; вляво е навита първичната намотка с $N_1$ навивки, вдясно — вторичната с $N_2$ навивки. — Фиг. 2

а) Вторичната намотка е отворена (т.е. между нейните краища няма свързан консуматор). Каква е ефективната стойност на напрежението $U_2$ между краищата на вторичната намотка?

б) Каква е ефективната стойност на магнитната индукция $B$ в сърцевината на трансформатора? Приемете, че магнитните индукционни линии са концентрични окръжности, разположени изцяло в сърцевината.

в) Определете ефективната стойност на тока, който протича в първичната намотка.

г) Максималната ефективна стойност на тока, който може да протича през намотките на трансформатора, е $I_{\max} = 5$ A. Вторичната намотка е свързана накъсо. Какво минимално съпротивление $R$ трябва да се свърже последователно на първичната намотка така, че тя да не изгори? Каква е ефективната стойност на тока, който протича при това през вторичната намотка.

Отговори

Решение

а) Коефициентът на трансформация е $k = N_2/N_1$ . Следователно ефективната стойност на напрежението между краищата на вторичната намотка е

(1)\qquad U_2 = kU_1 = \frac{N_2U_1}{N_1} = 10\,000\ \mathrm{V}.

б) Магнитният поток през напречното сечение на сърцевината се мени по закона

(2)\qquad \Phi(t) = B_m S\sin(2\pi\nu t),

където $B_m$ е амплитудата на променливото магнитно поле. По закона на Фарадей във всяка навивка на първичната (или вторичната) намотка се индуцира променливо ЕДН:

(3)\qquad u(t) = -\Phi(t)' = -2\pi\nu B_m S\cos(2\pi t).

Пълното ЕДН, индуцирано в първичната намотка, е $u_1(t) = N_1u(t)$ . Оттук следва, че амплитудата на индуцираното напрежение е $U_{1m} = N_1 2\pi\nu B_m S$ . Тъй като ефективната стойност на величина, която се променя по хармоничен закон, е пропорционална на амплитудата с коефициент $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , ефективната стойност на магнитната индукция е

(4)\qquad B = \frac{U_1}{2\pi\nu N_1 S} \approx 0{,}318\ \mathrm{T}.

в) Циркулацията на магнитната индукция по дължината на сърцевината е $Bl$ . Според закона на Ампер

(5)\qquad Bl = \mu_r\mu_0 I,

където $I$ е пълният ток, който пронизва повърхността, затворена от сърцевината.

От фиг. 2 следва, че $I = N_1I_1 - N_2I_2$ , където $I_1$ и $I_2$ са токовете, които текат през двете намотки. Тъй като втората намотка е отворена, $I_2 = 0$ . Следователно

(6)\qquad I_1 = \frac{Bl}{N_1\mu_r\mu_0} \approx 0{,}051\ \mathrm{A}.

г) От закона на Ом следва, че когато вторичната намотка е свързана накъсо, пълното ЕДН в намотката е равно на нула. Това означава, че индукцията на магнитното поле в сърцевината е равна на нула. От закона на Ампер (5) следва, че тогава

(7)\qquad I = N_1I_1 - N_2I_2 = 0.

Тъй като индуцираното напрежение в първичната намотка също е равно на нула, следва, че между намотката и източника на напрежение трябва да бъде свързано допълнително съпротивление

(8)\qquad R = \frac{U_1}{I_1} = \frac{U_1}{I_{\max}} = 200\ \Omega.

От съотношението (7) определяме тока през вторичната намотка:

(9)\qquad I_2 = \frac{N_1I_1}{N_2} = 0{,}5\ \mathrm{A}.

Пръстеновидна сърцевина с посочена индукция $B$ по обиколката; вляво навивки с ток $I_1$ навън от чертежа, вдясно навивки с ток $I_2$ навътре; в центъра надпис $N_1I_1 - N_2I_2$. — Фиг. 2 (към решението на подусловие в): пълният ток през повърхността, затворена от сърцевината, е $N_1I_1 - N_2I_2$ .

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf