Съдържание

Условие Отговори Решение

НОФ 2001, III кръг (национален) — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2001

Национална олимпиада по физика 2001, национален кръг, теоретичен кръг · 26 май 2001 г.

Условие

Данни:

Универсална газова константа $R = 8,3$ J/(mol.K).

Моларна маса на хелия $\mu = 4,0$ g/mol.

а) Съд е пълен с хелий при температура $T = 300$ K. В съда е пробит отвор с площ $S = 1$ mm $^2$ . Какво трябва да бъде налягането на газа в съда така, че дебитът на газа, който изтича през отвора, да бъде $\omega = 1$ g/h? Приемете, че газът изтича във вакуум и налягането на хелия в съда не се променя съществено по време на изтичането.

б) Диск с радиус $r = 1$ cm се движи в хелий, перпендикулярно на своята повърхност със скорост $u = 10$ m/s. Температурата на хелия е $T = 300$ K, а налягането му $p = 1$ kPa. Намерете силата на съпротивление, която действа на диска.

Отговори

Решение

а) Нека броят на молекулите, които преминават през отвора за 1 s, е $N$ . Това са частиците, които се намират в цилиндър с обем $V = vS$ и имат скорост $v = (3kT/m)^{1/2}$ , насочена перпендикулярно на отвора. Тогава $N = (1/6)nvS$ , където $n$ е концентрацията на частиците. Следователно

(1)\qquad w = Nm = \frac{1}{6}nvSm,

където $m$ е масата на хелиевия атом. Като отчетем, че $m = \mu/N_{\mathrm{A}}$ , $p = nkT$ и $k = R/N_{\mathrm{A}}$ , намираме

(2)\qquad p = \frac{2w}{S}\sqrt{\frac{3RT}{\mu}} \approx 760\ \mathrm{Pa},

където $R$ е универсалната газова константа, а $\mu$ — моларната маса на хелия.

б) Нека приемем, че всички атоми се движат със скорост $v = (3kT/m)^{1/2}$ . След удар в диска, атомите отскачат със скорост $v + 2u$ от предната страна и скорост $v - 2u$ от задната страна на диска (масата на диска е много по-голяма от масата на молекулите). Средно един атом променя кинетичната си енергия при удар в диска с

(3)\qquad \Delta\varepsilon = \frac{1}{2}m\left\{\frac{1}{2}\left[(v+2u)^2 + (v-2u)^2\right] - v^2\right\} = 2mu^2.

Тъй като $u \ll v$ , за време $\Delta t$ в диска ще се ударят $(1/3)nvt\pi r^2$ атома и дискът ще загуби кинетична енергия

(4)\qquad \Delta E = 2mu^2\,\frac{1}{3}nv\pi r^2\Delta t.

Изменението на кинетичната енергия на диска е равна на работата на съпротивителната сила $F$

(5)\qquad |A| = Fu\Delta t = \frac{2}{3}mu^2 nv\pi r^2 \Delta t.

Окончателно за съпротивителната сила получаваме

(6)\qquad F = 2up\sqrt{\frac{\mu}{3RT}}\,\pi r^2 \approx 4{,}6\ \mathrm{mN}.

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf