Съдържание

НОФ 2001, III кръг (национален) — Задача 4

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2001

Национална олимпиада по физика 2001, национален кръг, теоретичен кръг · 26 май 2001 г.

Условие

Един от елементарните носители на слабото взаимодействие е т. нар. Z $^0$ -бозон. Той е тежка, електрически неутрална частица с маса в покой, която е около 100 пъти по-голяма от масата в покой на протона. Z $^0$ -бозони могат да се получат при удар между електрони и позитрони с висока енергия:

e^- + e^+ \to Z^0.

Данни:

Маса в покой на електрона $m_{\mathrm{e}} = 9,1{.}10^{-31}$ kg.

Маса в покой на Z $^0$ -бозона $m_{\mathrm{Z}} = 1,6{.}10^{-25}$ kg;

Скорост на светлината във вакуум $c = 3,0{.}10^{8}$ m/s.

Елементарен електричен заряд $e = 1,6{.}10^{-19}$ C.

а) Каква кинетична енергия трябва да има електрон така, че след удар с неподвижен позитрон да възникне Z $^0$ -бозон?

б) За да се намали енергията, необходима за осъществяване на реакцията, се използват т. нар. ускорители — колайдери. В колайдера един срещу друг се движат два снопа частици с еднакви енергии — електрони и позитрони. Каква е небходимата кинетична енергия на електроните в този случай, за да се наблюдава раждане на Z $^0$ -бозон.

в) Експериментите по регистриране на Z $^0$ -бозон са осъществени за пръв път в колайдера на ЦЕРН с обиколка на кръговата орбита на електроните и позитроните 27 km. Определете индукцията на магнитното поле, което е необходимо за удържане на заредените частици върху тази орбита.

Отговори

Решение

а) При раждането на Z-бозона трябва да са изпълнени законът за запазване на енергията и законът за запазване на импулса

(1)\qquad p_e = p_Z,\qquad E_e + m_ec^2 = E_Z.

Като отчетем релативистката връзка между енергия и импулс

(2)\qquad E^2 - p^2c^2 = m^2c^4

и заместим в системата уравнения (1), за пълната енергия на електрона намираме

(3)\qquad E_e = \left(\frac{m_Z^2}{2m_e} - m_e\right)c^2.

Тогава кинетичната енергия на електрона ще бъде

(4)\qquad T = E_e - m_ec^2 = \left(\frac{m_Z^2}{2m_e} - 2m_e\right)c^2 \approx 8{.}10^{15}\ \mathrm{eV}.

Обърнете внимание, че реакцията се осъществява при точно определена стойност на енергията на електрона, т.е. това е т. нар. резонансна реакция!

б) При движението на двата снопа един срещу друг пълният импулс е нула и енергията на позитрона е равна на енергията на електрона. След удара Z-бозонът е неподвижен и следователно

(5)\qquad 2E_e = m_Zc^2.

Тогава кинетичната енергия на електроните ще бъде

(6)\qquad T = E_e - m_ec^2 = \left(\frac{m_Z}{2} - m_e\right)c^2 \approx 4{,}5{.}10^{10}\ \mathrm{eV}.

Вижда се, че необходимата кинетична енергия е около сто хиляди пъти по-малка, отколкото в случая а)!

в) При движение на електроните по кръгова орбита

(7)\qquad m\frac{v^2}{r} = evB,

където $m$ е релативистката маса на електрона. Като отчетем, че импулсът на електрона е $p = mv \approx T/c$ , а така също $r = l/2\pi$ , за индукцията $B$ на магнитното поле намираме от (7)

(8)\qquad B = \frac{p}{er} = \frac{2\pi T}{ecl} = \frac{2\pi T(\mathrm{eV})}{cl} \approx 35\ \mathrm{mT}.

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf