Съдържание

НОФ 2001, III кръг (национален) — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2001

Национална олимпиада по физика 2001, национален кръг, теоретичен кръг · 26 май 2001 г.

Условие

Следващите подусловия са независими едно от друго. В първите две подусловия можете да пренебрегнете масата на пружината.

Топче с маса $m$, окачено на пружина с коефициент на еластичност $k$ от неподвижна опора; под топчето е показана траектория във вид на осморка. — Фиг. 1, а

Снимка на морско дъно, набраздено от редуващи се през равни разстояния пясъчни валове. — Фиг. 1, б

а) Топче с маса $m$ е окачено на пружина с коефициент на еластичност $k$ , която може да се люлее свободно около ос, минаваща през точката на окачване (фиг. 1, а). Дължината на пружината, когато не е деформирана, е $l_0$ . Топчето е отклонено на малко разстояние от своето положение на устойчиво равновесие. При каква маса на топчето неговата траектория ще бъде осморка, която лежи във вертикална равнина (вж. фиг. 1, а)?

б) Пружинно махало има честота $\nu$ . Каква е честотата $\nu'$ на пружинно махало, което е $N$ -кратно умалено копие на първото махало (т.е. всички линейни размери са намалени $N$ пъти). Пружината и окачената теглилка на махалото копие са изработени от същите материали, както пружината и теглилката на оригиналното махало.

в) Обяснете защо близо до брега морското дъно е набраздено от малки пясъчни валове, разположени успоредно на бреговата ивица (фиг. 1, б).

Отговори

Решение

а) В положение на равновесие силата на тежестта, която действа на топчето, се уравновесява с еластичната сила на пружината: $mg = k(l - l_0)$ , където $l$ е дължината на разтегнатата пружина. Оттук определяме

(1)\qquad l = l_0 + \frac{mg}{k}.

Когато отклоним топчето от равновесно положение, то участва едновременно в две независими движения:

— Люлеене, подобно на математично махало, с период

(2)\qquad T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 2\pi\sqrt{\frac{l_0}{g} + \frac{m}{k}}.

— Вертикално трептене, подобно на пружинно махало, с период

(3)\qquad T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}.

В продължение на една пълна обиколка на осморката топчето преминава веднъж през крайно ляво положение и веднъж — през крайно дясно положение, т.е. периодът на люлеене е равен на периода на обикаляне по траекторията. За същото време топчето преминава два пъти през крайно горно положение и два пъти — през крайно долно положение. Следователно периодът на вертикално трептене е два пъти по-малък от периода на люлеене: $T_2 = T_1/2$ . Като използваме уравнения (2) и (3), получаваме

m = \frac{kl_0}{3g}.

б) При деформация $\Delta l$ на пружина с равновесна дължина $l$ и напречно сечение $S$ възниква еластична сила

(4)\qquad F = ES\frac{\Delta l}{l},

където $E$ е модулът на Юнг на материала, от който е изработена пружината. Следователно коефициентът на еластичност на пружината зависи от нейните размери по формулата

(5)\qquad k = E\frac{S}{l}.

Масата на окаченото топче е $m = \rho V$ , където $\rho$ е плътността на материала, от който е изработено топчето, а $V$ е обемът на топчето. Следователно честотата на трептене на пружинното махало се дава с формулата

(6)\qquad \nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{ES}{\rho Vl}}.

При $N$ -кратно намаляване на всички линейни размери получаваме махало копие със следните параметри: $l' = l/N$ , $S' = S/N^2$ , $V' = V/N^3$ . Тъй като копието е направено от същите материали, следва, че

(7)\qquad \nu' = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{E(S/N^2)}{\rho(l/N)(V/N^3)}} = N\nu.

в) Близо до брега се наслагват падащите и отразените от брега вълни. В резултат на това се образува стояща вълна. В максимумите на стоящата вълна водата се движи с максимална амплитуда и скорост, в резултат на което дъното се подкопава. Песъчинките се натрупват на местата, където се образуват възли на стоящата вълна (т.е. водата е почти неподвижна). По този начин по дъното се образуват редуващи се през равни разстояния малки падини и възвишения.

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf