Съдържание

НОФ 2004, III кръг (национален) — Задача 2. Политропен процес с идеален газ

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2004

Национален кръг на олимпиадата по физика 2004, теоретичен кръг · 8 май 2004 г. · 15 т.

Условие

С един mol идеален газ, чийто показател на адиабатата е $\gamma$ , се извършва процес, при който

pV^{n} = \mathrm{const.}

Тук $p$ е налягането на газа, $V$ – обемът му, а $n$ е константа.

а) Намерете топлинния капацитет $c$ на газа при този процес. [7 точки]

б) Покажете, че при получаване на количество топлина от газа е възможно температурата му да се понижава. Запишете условието за такова поведение в дадения процес. [4 точки]

в) На $pV-$ диаграма защриховайте областта, в която при дадения процес газът притежава свойството от пункт б). Обосновете отговора си. [4 точки]

Решение

а) По определение топлинният капацитет $c$ за дадения процес е

c = \frac{\Delta Q}{\Delta T},\qquad (1\ \text{т.})

където $\Delta Q$ е полученото от газа количество топлина, а $\Delta T$ – малко изменение на температурата му. От първия принцип на термодинамиката следва

c = c_V + p\frac{\Delta V}{\Delta T},\qquad (1\ \text{т.})

където $\Delta V$ е изменението на обема на газа при промяна на температурата с $\Delta T$ . Като използваме уравнението на състояние

pV = RT,\qquad (0{,}5\ \text{т.})

намираме

TV^{\,n-1} = \mathrm{const.}\qquad (0{,}5\ \text{т.})

За две състояния на газа с параметри $T$ , $V$ и $T + \Delta T$ , $V + \Delta V$ имаме

TV^{\,n-1} = (T + \Delta T)(V + \Delta V)^{n-1},\qquad (0{,}5\ \text{т.})

откъдето при

\left|\frac{\Delta T}{T}\right| \ll 1,\qquad \left|\frac{\Delta V}{V}\right| \ll 1

следва

\frac{\Delta V}{\Delta T} = -\frac{V}{(n-1)T} = -\frac{R}{(n-1)p}.\qquad (2\ \text{т.})

Като отчетем, че $c_V = \dfrac{R}{\gamma-1}$ $(0{,}5\ \text{т.})$ намираме

c = \frac{n-\gamma}{(\gamma-1)(n-1)}R.\qquad (1\ \text{т.})

б) При нагряване $\Delta Q > 0$ $(1\ \text{т.})$ . Когато $\Delta T < 0$ , имаме $c < 0$ $(1\ \text{т.})$ . Това е възможно при

1 < n < \gamma.\qquad (2\ \text{т.})

в) При $n = 1$ имаме изотермен процес, тъй като $pV = \mathrm{const}$ $(1\ \text{т.})$ . Аналогично при $n = \gamma$ процесът е адиабатен –

pV^{\gamma} = \mathrm{const.}\qquad (1\ \text{т.})

За $1 < n < \gamma$ налягането $p$ се изменя по-бързо с изменение на обема $V$ , отколкото при изотермен процес и по-бавно, отколкото при адиабатен процес $(1\ \text{т.})$ .

Оригиналната pV диаграма с адиабатата, изотермата и оценяването 1 т.

Данни и физични константи; Полезни формули

Данни и физични константи:

Електрична константа $\varepsilon_0 = 8{,}89.10^{-12}$ F/m;

Константа в закона на Кулон $k = 9{,}00.10^{9}$ N.m $^{2}$ /C $^{2}$ ;

Универсална газова константа $R$

Полезни формули:

· Трети закон на Кеплер. Квадратите на периодите на две планети се отнасят както кубовете на големите полуоси на техните елиптични орбити

\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^{3}\qquad \text{(при движение по кръгова орбита } a = R\text{)}.

Приближена формула: $(1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x$ , когато $x \ll 1$

Бележка от източника

Електричната константа е отпечатана като $8{,}89.10^{-12}$ F/m. След „Универсална газова константа $R$ “ няма числена стойност, а гравитационната константа не е включена в списъка. Отпечатаният списък е запазен.

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf