Съдържание

НОФ 2004, III кръг (национален) — Задача 4. Интерференция в тънък слой

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2004

Национален кръг на олимпиадата по физика 2004, теоретичен кръг · 8 май 2004 г. · 15 т.

Условие

Върху тънък плосък слой от някакво вещество с дебелина $d$ и показател на пречупване $n$ пада успореден сноп монохроматична светлина с дължина на вълната $\lambda$ под ъгъл $\alpha$ спрямо нормалата на повърхността на слоя. Наблюдава се двулъчева интерференция на отразените от слоя лъчи.

а) Намерете формула за разликата $\Delta$ в оптичните пътища на двата лъча като функция на $d$ , $n$ , $\alpha$ и $\lambda$ . Имайте впредвид, че при отражение на светлина от оптично по-плътна среда, фазата на отразения лъч се променя със $180^{\circ}$ спрямо фазата на падащия лъч в същата точка, което води до добавяне на $\lambda/2$ към разликата в оптичните пътища, пресмятана от геометричните разлики в пътищата. [4 точки]

б) Нека $d = 0.7$ μm, $\lambda = 0.5$ μm, $n = 4/3$ и $\alpha \in [0^{\circ}, 90^{\circ})$ . Намерете колко интерференчни максимума могат да се наблюдават, какъв е техния порядък $m$ , и при какви ъгли $\alpha_m$ се наблюдават. [5 точки]

в) Намерете при какви стойности на отношението $\lambda/d$ могат да се наблюдават само два максимума и те да са от трети и четвърти порядък. Показателят на пречупване $n = 4/3$ [6 точки]

Решение

Фиг. 1. Пълният ход на интерференционните лъчи.

а) Както се вижда от Фиг. 1, разликата $\Delta$ в оптичните пътища на лъчите 1 и 2 е равна на:

\Delta = n.(AB+BC) - AD + \lambda/2

Тъй като $AB = BC = d/\cos(\beta)$ , а $AD = AC.\sin(\alpha) = 2d\,\mathrm{tg}(\beta)\sin(\alpha)$ , за $\Delta$ се получава:

\Delta = n2d/\cos(\beta) - 2d\,\mathrm{tg}(\beta)\sin(\alpha) + \lambda/2 = \frac{2d}{\cos(\beta)}\left[n - \sin(\beta).\sin(\alpha)\right] + \frac{\lambda}{2}

От закона на Снелиус следва, че $\dfrac{\sin(\alpha)}{\sin(\beta)} = n$ . Така изразът за $\Delta$ се преобразува до:

\Delta = \frac{2d}{\sqrt{1 - \dfrac{\sin^{2}(\alpha)}{n^{2}}}}\left[n - \frac{\sin(\alpha)}{n}\sin(\alpha)\right] + \frac{\lambda}{2} = 2d\sqrt{n^{2} - \sin^{2}(\alpha)} + \frac{\lambda}{2}\qquad \textbf{[4 т.]}

б) За да се наблюдава $m$ – ти интерференчен максимум, трябва да е изпълнено следното равенство:

\Delta = 2d\sqrt{n^{2} - \sin^{2}(\alpha)} + \frac{\lambda}{2} = m\lambda,\ \text{където } m \text{ е цяло число.}

Тъй като $\alpha \in [0^{\circ}, 90^{\circ})$ , то $m$ принадлежи на интервала

m \in \left(\frac{2d}{\lambda}\sqrt{n^{2}-1} + \frac{1}{2},\ \frac{2d}{n}n + \frac{1}{2}\right]

При зададените стойности за $d$ , $\lambda$ и $n$ се получава, че $m$ принадлежи на интервала $m \in (2{,}97, 4{,}23]$ .

В този интервал има 2 цели числа и те са 3 и 4, следователно ще се наблюдават 2 максимума е те са от трети и четвърти порядък.

Ъглите, при които те ще се виждат, пресмятаме от равенството

\sin^{2}(\alpha_m) = n^{2} - \left[\frac{\left(m-\dfrac{1}{2}\right)\lambda}{2d}\right]^{2}

Замествайки, се получава $\alpha_3 = 78{,}7^{\circ}$ и $\alpha_4 = 12{,}4^{\circ}$ [5 т.]

в) Условието за наблюдаване на интерференчен максимум от $m$ -ти порядък

\Delta_m = 2d\sqrt{n^{2} - \sin^{2}(\alpha_m)} = m\lambda

може да се преобразува до:

\sin(\alpha_m) = \sqrt{n^{2} - \left[\frac{(2m-1)}{4}\frac{\lambda}{d}\right]^{2}}

За да се наблюдават само два максимума, и те да са от трети и четвърти порядък, трябва да са изпълнени следните неравенства:

\sin(\alpha_2) \ge 1,\quad \sin(\alpha_3) < 1,\quad \sin(\alpha_4) \ge 0\quad \text{и}\quad \sin(\alpha_5) < 0

Замествайки с дадената стойност за показателя на пречупване, от първото неравенство се получава:

\sin(\alpha_2) = \sqrt{\frac{16}{9} - \frac{9}{16}\left(\frac{\lambda}{d}\right)^{2}} \ge 1,\ \text{откъдето следва, че}\ \frac{\lambda}{d} \le \frac{4\sqrt{7}}{9} \approx 1.176

От второто неравенство се получава:

\sin(\alpha_3) = \sqrt{\frac{16}{9} - \frac{25}{16}\left(\frac{\lambda}{d}\right)^{2}} < 1,\ \text{откъдето следва, че}\ \frac{\lambda}{d} > \frac{4\sqrt{7}}{15} \approx 0.706

От третото неравенство се получава:

\sin(\alpha_4) = \sqrt{\frac{16}{9} - \frac{49}{16}\left(\frac{\lambda}{d}\right)^{2}} \ge 0,\ \text{откъдето следва, че}\ \frac{\lambda}{d} \le \frac{16}{21} \approx 0.761

От четвъртото неравенство се получава:

\sin(\alpha_5) = \sqrt{\frac{16}{9} - \frac{81}{16}\left(\frac{\lambda}{d}\right)^{2}} < 0,\ \text{откъдето следва, че}\ \frac{\lambda}{d} > \frac{16}{27} \approx 0.593

Общо четирите неравенства налагат следните ограничения за отношението $\dfrac{\lambda}{d}$ :

Оригиналното съчетаване на четирите неравенства за λ/d.

Следователно $\dfrac{\lambda}{d} \in \left(\dfrac{4\sqrt{7}}{15}, \dfrac{16}{21}\right]$ [6 т.]

[Бележка от източника: В горната граница на интервала за $m$ е отпечатано $2d/n$ вместо $2d/\lambda$ . В началния израз на в) липсва членът $\lambda/2$ , а по-нататък е отпечатано $\sin(\alpha_5)<0$ . Тези изрази и отпечатаните числени резултати са запазени.]

Данни и физични константи; Полезни формули

Данни и физични константи:

Електрична константа $\varepsilon_0 = 8{,}89.10^{-12}$ F/m;

Константа в закона на Кулон $k = 9{,}00.10^{9}$ N.m $^{2}$ /C $^{2}$ ;

Универсална газова константа $R$

Полезни формули:

· Трети закон на Кеплер. Квадратите на периодите на две планети се отнасят както кубовете на големите полуоси на техните елиптични орбити

\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{2} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^{3}\qquad \text{(при движение по кръгова орбита } a = R\text{)}.

Приближена формула: $(1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x$ , когато $x \ll 1$

Бележка от източника

Електричната константа е отпечатана като $8{,}89.10^{-12}$ F/m. След „Универсална газова константа $R$ “ няма числена стойност, а гравитационната константа не е включена в списъка. Отпечатаният списък е запазен.

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf