Съдържание

НОФ 2006, II кръг (областен), 9. клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2006

Областен кръг на олимпиадата по физика 2006, тема за 9. клас · 26 март 2006 г. · 10 т.

Внимание: Бележка към темата

След задача 3 темата отпечатва обща бележка, която важи и за трите задачи: „Забележка. Всяка задача от темата се оценява с максимален брой 10 (десет) точки.“

Условие

Обемът между електродите на плосък въздушен кондензатор е запълнен до половината с един и същ диелектрик по два начина, както е показано на фиг. 1 а, б. Намерете:

Указание. Капацитетът на плосък кондензатор, запълнен изцяло с диелектрик, е $C = \dfrac{\varepsilon_0\varepsilon S}{d}$ , където $\varepsilon_0$ е електричната константа, $S$ – площта на всеки един от електродите, $d$ – разстоянието между тях и $\varepsilon$ – диелектричната проницаемост.

Два плоски кондензатора: в а) защрихованият диелектрик запълва долната половина от обема между плочите; в б) диелектрикът е слой с пълна височина, долепен до дясната плоча. — фиг. 1 – кондензатор а (диелектрикът заема половината от площта на електродите) и кондензатор б (диелектрикът заема половината от разстоянието между електродите).

а) капацитетът на кой кондензатор, независимо от стойността на диелектричната проницаемост $\varepsilon$ , е винаги по-голям от капацитета на другия. (7т.)

б) диелектричната проницаемост $\varepsilon$ на диелектрика, ако е известно, че отношението на капацитетите на кондензаторите (фиг. 1) е $\alpha > 1$ . (3 т.)

Отговори

Решение

Капацитетът $C_1$ на кондензатора от фиг. 1, а може да се разглежда като еквивалентен на два успоредно свързани кондензатора $C_1'$ и $C_1''$ :

C_1' = \frac{\varepsilon_0 S/2}{d} = \frac{\varepsilon_0 S}{2d},\qquad C_1'' = \frac{\varepsilon_0\varepsilon S/2}{d} = \frac{\varepsilon_0 S}{2d}\varepsilon

[2 т.]

и е равен на

C_1 = C_1' + C_1'' = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\cdot\frac{\varepsilon+1}{2}.

[1 т.]

Капацитетът $C_2$ на кондензатора от фиг. 1, б може да се разглежда като еквивалентен на два последователно свързани кондензатора $C_2'$ и $C_2''$ :

C_2' = \frac{\varepsilon_0 S}{d/2} = 2\frac{\varepsilon_0 S}{d},\qquad C_2'' = \frac{\varepsilon_0\varepsilon S}{d/2} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\cdot 2\varepsilon

[2 т.]

и е равен на

C_2 = \frac{C_2'C_2''}{C_2'+C_2''} = \frac{\varepsilon_0 S}{d}\cdot\frac{2\varepsilon}{\varepsilon+1}.

[1 т.]

За да определим капацитета на кой кондензатор е по-голям нека допуснем, че $C_1 > C_2$ . Тогава

\frac{\varepsilon+1}{2} > \frac{2\varepsilon}{\varepsilon+1},\qquad (\varepsilon-1)^2 > 0,

което е вярно неравенство за всяко $\varepsilon$ , тъй като $\varepsilon > 1$ . Следователно е изпълнено неравенството $C_1 > C_2$ . [1 т.]

б) Образуваме отношението $\dfrac{C_1}{C_2} = \alpha > 1$ , [0,5 т.] т.е.

\alpha = \frac{(\varepsilon+1)^2}{4\varepsilon},\qquad \varepsilon^2 - 2\varepsilon(2\alpha-1) + 1 = 0.

[1 т.]

След решаване на квадратното уравнение имаме

\varepsilon_{1,2} = (2\alpha-1)\pm\sqrt{4\alpha(\alpha-1)} = 2\sqrt{\alpha-1}\left(\sqrt{\alpha-1}\pm\sqrt{\alpha}\right).

[0,5 т.]

От двата корена физически смисъл има само

\varepsilon = 2\sqrt{\alpha-1}\left(\sqrt{\alpha-1}+\sqrt{\alpha}\right),

тъй като той е положителен и по-голям от единица. [1 т.]

Оригинал в Архива: 9_zad.pdf · официални решения: 9_resh.pdf