Съдържание

НОФ 2006, III кръг (национален), вариант 1 — Задача 2. Газ от фонони

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2006

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. Национален кръг на Олимпиадата по физика. Теоретична тема, 6 май 2006 г. · 6 май 2006 г. · 15 т.

Условие

При ниски температури (под 100 K) термодинамичните свойства на диелектричните кристали се определят от хармоничните трептения на атомите. Тези трептения имат квантов характер и на разпространението на механични вълни със скорост $\mathrm{v}$ в кристала се съпоставят частици, наречени фонони. По този начин съвкупността от трептящи атоми се заменя с идеален газ от фонони, които запълват обема $V$ на кристала и за които връзката между енергията $\varepsilon$ и големината на импулса $p$ е

\varepsilon = \mathrm{v}p.

Характерно за този газ е, че броят на фононите е променлив и се определя от температурата $T$ и обема $V$ на кристала.

PV-диаграма: цикъл на Карно между изотермите T и T−ΔT, със стрелки по посоката на обхождане; по оста P са отбелязани P и P−ΔP, по оста V — V и V+ΔV, с пунктирни помощни линии. — Фиг. 2

а) Покажете, че за фононния газ налягането $P$ и плътността на вътрешната енергия $u = \dfrac{U}{V}$ при термодинамично равновесие са свързани със съотношението $P = \dfrac{1}{3}u$ . Приемете, че кристалът има формата на куб със страна $l$ . [4 т.]

б) На $PV$ -диаграмата (вж. фиг. 2) е показан цикъл на Карно с изотерми при температури съответно $T$ и $T - \Delta T$ . Измененията на налягането $\Delta P$ , обема $\Delta V$ и температурата $\Delta T$ са положителни и малки величини. Като приемете, че площта, оградена от цикъла е $\Delta P\Delta V$ , покажете:

\left(\frac{\Delta U}{\Delta V}\right)_{T=\mathrm{const}} = T\left(\frac{\Delta P}{\Delta T}\right)_{V=\mathrm{const}} - P.

[4 т.]

в) Като отчетете, че за фононния газ $u$ зависи само от температурата $T$ , намерете вида на функцията $u(T)$ . [2 т.]

г) Нека фононният газ се разширява по закона $TV^{\lambda} = \mathrm{const}$ , където $\lambda$ е зададено число. При какви стойности на $\lambda$ газът поглъща топлина, отдава топлина или се извършва адиабатен процес? [5 т.]

Полезни съотношения.

Ако $\dfrac{\Delta y}{y} = \gamma\dfrac{\Delta x}{x}$ , то $y = ax^{\gamma}, a = \mathrm{const}$ .
При $|x| \ll 1$ е в сила приближената формула $(1+x)^{\alpha} \approx 1 + \alpha x$ .

Отговори

Решение

а) В състояние на термодинамично равновесие при температура $T$ фононите са $N$ на брой и извършват хаотично движение. Ще приемем, че в посока, перпендикулярна на две от стените на съда, се движат $N/3$ частици. Тогава при удар на фонон в една от стените той ѝ действа със сила

f = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2p}{\Delta t},

(1 т.)

където $\Delta t$ е продължителността на удара. Ще приемем, че $\Delta t$ е времето между два последователни удара на частицата в стената. Тогава имаме

\Delta t = \frac{2l}{\mathrm{v}}, \qquad f = \frac{\mathrm{v}p}{l} = \frac{\varepsilon}{l}.

(1 т.)

Пълната сила $F$ , която действа на стената, е

F = f_1 + f_2 + \ldots = \frac{1}{l}(\varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \ldots) = \frac{N\varepsilon_{\text{ср}}}{3l},

(1 т.)

където $\varepsilon_{\text{ср}}$ е средната енергия на топлинното движение на един фонон. По определение налягането $P$ е

P = \frac{F}{S} = \frac{N\varepsilon_{\text{ср}}}{3l^3} = \frac{U}{3V} = \frac{1}{3}u.

(1 т.)

б) От първия принцип на термодинамиката за изотермния процес при температура $T$ имаме

\Delta U = Q - P\Delta V.

(1 т.)

От друга страна за цикъл на Карно е изпълнено съотношението

\frac{A}{Q} = \frac{\Delta T}{T},

(1 т.)

откъдето при $A = \Delta P\Delta V$ (1 т.) имаме

Q = T\frac{\Delta P\Delta V}{\Delta T}.

(1 т.)

След заместване на $Q$ получаваме търсеното равенство.

в) За фононния газ $U = Vu(T)$ (1 т.). Като използваме съотношението от б) намираме

\frac{\Delta u}{u} = 4\frac{\Delta T}{T}, \quad u(T) = aT^4.

(1 т.)

г) В процеса на разширение при увеличаване на обема с $\Delta V$ обмененото количество топлина между фононния газ и околната среда е

\delta Q = \Delta U + P\Delta V.

(0,5 т.)

Понеже при този процес

T = \frac{B}{V^{\lambda}},

(0,5 т.)

имаме

U = aT^4V = aB^4V^{1-4\lambda}.

(0,5 т.)

В този случай изменението на вътрешната енергия е

\begin{aligned} \Delta U &= aB^4(V + \Delta V)^{1-4\lambda} - aB^4V^{1-4\lambda} \\ &= aB^4V^{1-4\lambda}\left[\left(1 + \frac{\Delta V}{V}\right)^{1-4\lambda} - 1\right] \\ &\approx aB^4(1 - 4\lambda)\frac{\Delta V}{V^{4\lambda}} = a(1 - 4\lambda)T^4\Delta V, \end{aligned}

тъй като $\dfrac{\Delta V}{V} \ll 1$ (1,5 т.). Като отчетем, че $P\Delta V = \dfrac{1}{3}aT^4\Delta V$ , намираме

\delta Q = 4a\left(\frac{1}{3} - \lambda\right)T^4\Delta V.

(0,5 т.)

Следователно имаме

$\delta Q > 0,\ \lambda < \dfrac{1}{3}$ , фононният газ получава топлина при разширението си; (0,5 т.)

$\delta Q < 0,\ \lambda > \dfrac{1}{3}$ , фононният газ отдава топлина при разширението си; (0,5 т.)

$\delta Q = 0,\ \lambda = \dfrac{1}{3}$ , с фононния газ се извършва адиабатно разширение. (0,5 т.)

Оригинал в Архива: th_var1.pdf · официални решения: th_var2_resh.pdf