Съдържание

НОФ 2006, III кръг (национален), вариант 1 — Задача 4. Планкови дължина, време и маса. Радиус на “черна дупка”.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2006

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА. Национален кръг на Олимпиадата по физика. Теоретична тема, 6 май 2006 г. · 6 май 2006 г. · 15 т.

Условие

а) Изразете размерността на Планковата константа $h$ и гравитационната константа $G$ чрез мерните единици на величините маса, дължина и време. [2 т.]

б) В съвременните физични теории се предполага, че пространството и времето се квантуват. Ако предположите, че големините на квантите за дължина $l_{\mathrm{Pl}}$ и време $t_{\mathrm{Pl}}$ зависят само от Планковата константа $h$ , гравитационната константа $G$ и скоростта на светлината $c$ , намерете формули (с точност до безразмерен множител от порядъка на единица) за техните стойности. [6 т.]

в) изчислете $l_{\mathrm{Pl}}$ и $t_{\mathrm{Pl}}$ , ако $h = 6{,}63.10^{-34}$ J.s, $G = 6{,}67.10^{-11}$ N.m $^2$ /kg $^2$ и $c = 3{,}00.10^{8}$ m/s [1 т.]

г) В съвременните физични теории се предполага, че когато релативистката маса на елементарните частици достигне критична стойност $m_{\mathrm{Pl}}$ , гравитационните взаимодействия между тях стават съществени и сравними по големина с останалите взаимодействия. Ако предположите, че големината на $m_{\mathrm{Pl}}$ зависи само от Планковата константа $h$ , гравитационната константа $G$ и скоростта на светлината $c$ , намерете формула (с точност до безразмерен множител от порядъка на единица) и изчислете нейната стойност . [3 т.]

д) (независимо подусловие) Оценете радиуса $R_{\mathrm{g}}$ на “черна дупка”, ако той зависи само от нейната маса $M$ , гравитационната константа $G$ и скоростта на светлината $c$ . На колко ще е равна първата космическа скорост за тази “черна дупка” (според класическата механика) [3 т.]

Отговори

Решение

а) Размерността на Планковата константа $h$ е J.s . Изразявайки единицата за енергия J чрез единиците за маса, дължина и време се получава

[h] = J.s = N.m.s = kg.m.s^{-2}.m.s = kg.m^2.s^{-1} \qquad (4.1)

[1 т.]

Размерността на гравитационната константа $G$ (която може да се получи от закона на Нютон за гравитацията) е N.m $^2$ /kg $^2$ . Изразявайки единицата за сила N чрез единиците за маса, дължина и време се получава

\frac{N.m^2}{kg^2} = \frac{kg.m}{s^2}.\frac{m^2}{kg^2} = kg^{-1}.m^3.s^{-2} \qquad (4.2)

[1 т.]

б) предполагаме, че формулата, свързваща кванта за дължина $l_{\mathrm{Pl}}$ и Планковата константа $h$ , гравитационната константа $G$ и скоростта на светлината $c$ е от типа:

l_{Pl} = h^{\alpha}.G^{\beta}.c^{\gamma} \qquad (4.3)

[0,5 т.]

Тъй като лявата и дясната част на уравнението трябва да имат една и съща размерност, то

m^1 = \left(kg^{\alpha}.m^{2\alpha}.s^{-\alpha}\right)\left(kg^{-\beta}.m^{3\beta}.s^{-2\beta}\right)\left(m^{\gamma}.s^{-\gamma}\right) \qquad (4.4)

Уравнение (4.4) се свежда до три уравнения ([0,5 т.] за всяко):

0 = \alpha - \beta \qquad (4.5)

1 = 2\alpha + 3\beta + \gamma \qquad (4.6)

0 = -\alpha - 2\beta - \gamma \qquad (4.7)

Решавайки тази система уравнения, от (4.5) се получава $\beta = \alpha$ , от (4.7) - $\gamma = -3\alpha$ , а от (4.6) - $1 = 2\alpha + 3\alpha - 3\alpha = 2\alpha$ . Следователно

$\alpha = 1/2,\ \beta = 1/2,\ \gamma = -3/2$ [0,5 т.] или търсената формула е

l_{Pl} = \sqrt{\frac{h.G}{c^3}} \qquad (4.8)

[0,5 т.]

Предполагаме, че формулата, свързваща кванта за време $t_{\mathrm{Pl}}$ и Планковата константа $h$ , гравитационната константа $G$ и скоростта на светлината $c$ е от типа:

t_{Pl} = h^x.G^y.c^z \qquad (4.9)

[0,5 т.]

Тъй като лявата и дясната част на уравнението трябва да имат една и съща размерност, то

s^1 = \left(kg^x.m^{2x}.s^{-x}\right)\left(kg^{-y}.m^{3y}.s^{-2y}\right)\left(m^z.s^{-z}\right) \qquad (4.10)

Уравнение (4.10) се свежда до три уравнения ([0,5 т.] за всяко):

0 = x - y \qquad (4.11)

0 = 2x + 3y + z \qquad (4.12)

1 = -x - 2y - z \qquad (4.13)

Решавайки тази система уравнения, от (4.11) се получава $y = x$ , от (4.12) - $z = -5x$ , а от (4.13) - $1 = -x - 2x + 5x = 2x$ . Следователно

$x = 1/2,\ y = 1/2,\ z = -5/2$ [0,5 т.] или търсената формула е

t_{Pl} = \sqrt{\frac{h.G}{c^5}} \qquad (4.14)

[0,5 т.]

в) при дадените стойности на Планковата константа $h$ , гравитационната константа $G$ и скоростта на светлината $c$ , от (4.8) за $l_{\mathrm{Pl}}$ се получава

l_{Pl} = \sqrt{\frac{6{,}63.10^{-34}\,J.s.6{,}67.10^{-11}\,N.m^2/kg^2}{\left(3.10^8\,m/s\right)^3}} = 4{,}05.10^{-35}\ \mathrm{m} \qquad (4.15)

[0,5 т.]

Използвайки (4.14), за $t_{\mathrm{Pl}}$ се получава

t_{Pl} = \sqrt{\frac{6{,}63.10^{-34}\,J.s.6{,}67.10^{-11}\,N.m^2/kg^2}{\left(3.10^8\,m/s\right)^5}} = 1{,}35.10^{-43}\ \mathrm{s} \qquad (4.16)

[0,5 т.]

г) предполагаме, че формулата, свързваща критичната стойност $m_{\mathrm{Pl}}$ и Планковата константа $h$ , гравитационната константа $G$ и скоростта на светлината $c$ е от типа:

m_{Pl} = h^{\delta}.G^{\varepsilon}.c^{\eta} \qquad (4.17)

[0,5 т.]

Тъй като лявата и дясната част на уравнението трябва да имат една и съща размерност, то

kg^1 = \left(kg^{\delta}.m^{2\delta}.s^{-\delta}\right)\left(kg^{-\varepsilon}.m^{3\varepsilon}.s^{-2\varepsilon}\right)\left(m^{\eta}.s^{-\eta}\right) \qquad (4.18)

Уравнение (4.18) се свежда до три уравнения ([0,5 т.] за всяко):

1 = \delta - \varepsilon \qquad (4.19)

0 = 2\delta + 3\varepsilon + \eta \qquad (4.20)

0 = -\delta - 2\varepsilon - \eta \qquad (4.21)

Решавайки тази система уравнения, от (4.21) се получава $\eta = -\delta - 2\varepsilon$ , от (4.20) - $0 = 2\delta + 3\varepsilon - \delta - 2\varepsilon = \delta + \varepsilon$ , следователно $\varepsilon = -\delta$ . От (4.19) се получава - $1 = \delta + \delta$ . Следователно

$\delta = 1/2,\ \varepsilon = -1/2,\ \eta = 1/2$ или търсената формула е

m_{Pl} = \sqrt{\frac{h.c}{G}} \qquad (4.22)

[0,5 т.]

Използвайки (4.22), за $m_{\mathrm{Pl}}$ се получава

m_{Pl} = \sqrt{\frac{6{,}63.10^{-34}\,J.s.3.10^8\,m/s}{6{,}67.10^{-11}\,N.m^2/kg^2}} = 5{,}46.10^{-8}\ \mathrm{kg} \qquad (4.23)

[0,5 т.]

д) предполагаме, че формулата, свързваща радиуса $R_{\mathrm{g}}$ на “черна дупка” с нейната маса $M$ , гравитационната константа $G$ и скоростта на светлината $c$ е от типа:

R_g = M^p.G^q.c^r \qquad (4.24)

[0,5 т.]

Тъй като лявата и дясната част на уравнението трябва да имат една и съща размерност, то

m^1 = \left(kg^p\right)\left(kg^{-q}.m^{3q}.s^{-2q}\right)\left(m^r.s^{-r}\right) \qquad (4.25)

Уравнение (4.25) се свежда до три уравнения ([0,5 т.] за всяко):

0 = p - q \qquad (4.26)

1 = 3q + r \qquad (4.27)

0 = -2q - r \qquad (4.28)

Решавайки тази система уравнения, от (4.26) се получава $p = q$ , а от (4.28) - $r = -2q$ . От (4.27) се получава - $1 = 3q - 2q$ . Следователно

$q = 1,\ p = 1,\ r = -2$ или търсената формула е

R_g = \frac{M.G}{c^2} \qquad (4.29)

[0,5 т.]

Първата космическа скорост се намира като скоростта на тяло при движение по окръжност с радиус $R_{\mathrm{g}}$ около “черната дупка” с маса $M$ . От закона на Нютон за гравитацията следва

G\frac{M.m}{R_g^{\,2}} = \frac{mV^2}{R_g} \qquad (4.30)

Замествайки $R_{\mathrm{g}}$ с израза от (4.29) и след съкращения се получава

G\frac{M}{R_g} = V^2 = G\frac{M.c^2}{M.G} \qquad (4.31)

откъдето за първата космическа скорост се получава

V = c \qquad (4.32)

[0,5 т.]

Оригинал в Архива: th_var1.pdf · официални решения: th_var2_resh.pdf