Съдържание

НОФ 2007, II кръг (областен), 8. клас — Задача 1. Удрящи се топчета

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2007

Олимпиада по физика 2007, Областен кръг, Тема за 8 клас · 25 март 2007 г. · 10 т.

Условие

Топче се пуска да пада свободно с нулева начална скорост от височина $h$ . След известно време $t_{\mathrm{зак}}$ от повърхността на земята се изстрелва вертикално нагоре второ топче със скорост $V_0 = 10\ \mathrm{m/s}$ . Те се удрят в момента време $t_{\mathrm{уд}}$ . Оказва се, че при удара скоростта $V_1$ на първото топче е три пъти по-голяма от скоростта на второто топче $V_2$ . Пътят, изминат от първото топче, също е три пъти по-голям. Земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Намерете:

а) скоростите на двете топчета в момента на удара $V_1$ [2 т] и $V_2$ [4 т.]

б) момента на удара между двете топчета $t_{\mathrm{уд}}$ [1 т] и момента на изстрелване на второто топче $t_{\mathrm{зак}}$ [3 т.]

в) пътищата, изминати от двете топчета, $s_1$ [1 т] и $s_2$ [2 т.]

г) височината на пускане на първото топче $h$ [1 т.]

Отговори

Решение

а) написваме закона за скоростта и закона за пътя за двете топчета за момента на удара:

V_1 = gt_{\mathrm{уд}} \qquad (1.1)

s_1 = \frac{1}{2}gt_{\mathrm{уд}}^{\,2} \qquad (1.2)

V_2 = V_0 - g(t_{\mathrm{уд}} - t_{\mathrm{зак}}) \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad (1.3)

s_2 = V_0(t_{\mathrm{уд}} - t_{\mathrm{зак}}) - \frac{1}{2}g(t_{\mathrm{уд}} - t_{\mathrm{зак}})^2 \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad (1.4)

Замествайки времето от (1.1) в (1.2) и от (1.3) в (1.4) се получава

s_1 = \frac{V_1^{\,2}}{2g} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad (1.5)

s_2 = \frac{V_0^{\,2} - V_2^{\,2}}{2g} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad (1.6)

В условието е дадено, че:

s_1 = 3s_2 \quad \text{или} \quad \frac{V_1^{\,2}}{2g} = 3\frac{V_0^{\,2} - V_2^{\,2}}{2g} \qquad (1.7)

След съкращаване на знаменателите

V_1^{\,2} = 3V_0^{\,2} - 3V_2^{\,2} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad (1.8)

В условието е дадено и, че $V_1 = 3V_2$ . Като се замести в (1.8) се получава

(3V_2)^2 = 3V_0^{\,2} - 3V_2^{\,2} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad (1.9)

След опростяване

V_2 = \frac{V_0}{2} = 5\,m/s \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad (1.10)

V_1 = 3V_2 = \frac{3V_0}{2} = 15\,m/s \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad (1.11)

б) момента време на удара между двете топчета $t_{\mathrm{уд}}$ се намира от (1.1):

t_{\mathrm{уд}} = \frac{V_1}{g} = \frac{15\,m/s}{10\,m/s^2} = 1{,}5s \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (1.12)

Момента време на изстрелване на второто топче $t_{\mathrm{зак}}$ се намира от (1.3):

t_{\mathrm{зак}} = t_{\mathrm{уд}} - \frac{V_0 - V_2}{g} = 1{,}5s - \frac{10\,m/s - 5\,m/s}{10\,m/s^2} = 1s \qquad \textbf{[2 т]} \qquad (1.13)

в) пътищата, изминати от двете топчета, $s_1$ и $s_2$ , се намират от (1.5) и (1.6):

s_1 = \frac{(15\,m/s)}{2.10\,m/s^2} = 11{,}25m \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (1.14)

s_2 = \frac{(10\,m/s)^2 - (5\,m/s)^2}{2.10\,m/s^2} = 3{,}75m \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (1.15)

г) височината на пускане на първото топче $h$ е

h = s_1 + s_2 = 11{,}25m + 3.75m = 15m \qquad \textbf{[1 т]} \qquad (1.16)

Оригинал в Архива: 8_zad.pdf · официални решения: 8_resh.pdf