Съдържание

НОФ 2007, II кръг (областен), 8. клас — Задача 3. Подемен кран

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2007

Олимпиада по физика 2007, Областен кръг, Тема за 8 клас · 25 март 2007 г. · 10 т.

Условие

Кран издига панел с маса $m = 1{,}5\ \mathrm{t}$ от земната повърхност с постоянно ускорение и с нулева начална скорост. След време $t = 5\ \mathrm{s}$ скоростта на панела е $v = 2\ \mathrm{m/s}$ . Приемете, че земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

а) Пресметнете работата, която кранът извършва за време $t$ . [6 т.]

б) Определете силата $F$ на опъване на въжето на крана. [4 т.]

Отговори

Решение

а) В началния момент кинетичната енергия на панела е нулева (панелът има нулева скорост): Понеже началната височина на панела е нула, началната потенциална енергия също е нулева. Следователно началната механична енергия на панела е:

(3.1) \qquad E_1 = 0. \qquad \textbf{[1 т]}

След време $t$ панелът има скорост $v$ и кинетична енергия:

(3.2) \qquad E_{k2} = \frac{mv^2}{2}. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Ускорението на панела е:

(3.3) \qquad a = \frac{v}{t}, \qquad \textbf{[0,5 т]}

а височината, на която се изкачва:

(3.4) \qquad h = \frac{1}{2}at^2 = \frac{vt}{2}. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Следователно потенциалната енергия на панела в момента $t$ е:

(3.5) \qquad E_{p2} = mgh = \frac{mgvt}{2}, \qquad \textbf{[0,5 т]}

а пълната механична енергия:

(3.6) \qquad E_2 = \frac{m}{2}\left(v^2 + vgt\right) \qquad \textbf{[1 т]}

Работата, която извършва кранът е равна на промяната на механичната енергия на панела:

(3.7) \qquad A = E_2 - E_1 = \frac{m}{2}\left(v^2 + vgt\right) \qquad \textbf{[1 т]}

(3.8) \qquad A = \frac{1500\,\mathrm{kg}}{2}\left((2\ \mathrm{m/s})^2 + 2\ \mathrm{m/s}.10\ \mathrm{m/s^2}.5\,\mathrm{s}\right) = 78\,000\ \mathrm{J}\ (78\,\mathrm{kJ}). \qquad \textbf{[1 т]}

б) На панела действат две сили, насочени в противоположни посоки: силата на тежестта $G = mg$ и силата на опъване на въжсто $F$ .

За чертеж с правилно означени посоки на силите – [1 т] (по 0,5 т за всяка сила)

От II принцип на Нютон следва:

(3.9) \qquad ma = F - mg, \qquad \textbf{[1 т]}

Като използваме израза за ускорението (3.3), определяме:

(3.10) \qquad F = m\left(g + \frac{v}{t}\right); \qquad \textbf{[1 т]}

(3.11) \qquad F = 1500\,\mathrm{kg}\left(10\ \mathrm{m/s^2} + \frac{2\ \mathrm{m/s}}{5\,\mathrm{s}}\right) = 15\,600\ \mathrm{N}\ (15{,}6\,\mathrm{kN}). \qquad \textbf{[1 т]}

Правоъгълник, изобразяващ панела, със стрелка F нагоре и стрелка G надолу. — Силите, действащи на панела: опъването на въжето $F$ нагоре и тежестта $G$ надолу.

Оригинал в Архива: 8_zad.pdf · официални решения: 8_resh.pdf