НОФ 2008, I кръг (общински), 10–12 клас — Задача 5

• $\mathrm{tg}\,\alpha = \frac{h}{L}$

  Стрелата трябва да бъде насочена точно към точката, от която започва да пада ябълката (т. B), т.е. $\alpha = \angle BAH$.

ЗАДАЧА 5: 15 точки.

Избираме координатна система с начало в т. А фиг. 1, закон за движение на стрелата:

По x: $x_1(t)=(v_0\cos\alpha)t$

По y: $y_1(t)=(v_0\sin\alpha)t - gt^2/2$ - 2 точки

$X_{20}=L$, $y_{20}=h$

Ябълката пада по вертикална права:

$x_2(t)=L$

$y_2(t)=h-gt^2/2$ - 2 точки

Стрелата ще уцели ябълката, ако в определен момент t те попадат в една и съща точка в пространството, т. е. имат еднакви x - координатите и y – координатите на стрелата и ябълката. - 2 точки

$X_1(t)= X_2(t)$

$y_1(t)= y_2(t)$

$(v_0\cos\alpha)t=L$

$(v_0\sin\alpha)t=h$ - 3 точки

Разделя се почленно

$\mathrm{Tg}\,\alpha=h/L$

От правоъгълния триъгълник ABH от фиг. 1 следва: $\dfrac{BH}{AH} = \dfrac{h}{L} = tg(< BAH)$

$<BAH = \alpha$ – 3 точки

$\Rightarrow$ Стрелата трябва да бъде насочена към точката, от която започва да пада ябълката. – 2 точки