НОФ 2008, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 2. Крайна и безкрайна верига от кондензатори

• а) $C_{AB6} = \frac{23}{41}C = 0.5610\,C$

• б) $C_{MN} = \frac{C_{AB}}{2}$

  След премахване на първите два кондензатора се получава същата безкрайна верига, но с $C$ заменено с $C/2$.

• в) $C_{AB} = \frac{\sqrt{17}-3}{2}\,C = 0.5616\,C$

а) Капацитетът $C_{AB6}$ между точките A и B, ако във веригата участват само първите шест кондензатора, се намира като последователно се намира еквивалентния капацитет на двойки кондензатори, започвайки отдясно на фигурата. Еквивалентният капацитет на двойката последователно свързани кондензатори с капацитети $C/4$ е $C/8$ [0.5 т.]. Еквивалентният капацитет на двойката успоредно свързани кондензатори с капацитети $C/2$ и $C/8$ е $\frac{5}{8}C$ [0.5 т.]. Еквивалентният капацитет на двойката последователно свързани кондензатори с капацитет $C/2$ и $\frac{5}{8}C$ е $\frac{5}{18}C$ [0.5т.]. Еквивалентният капацитет на двойката успоредно свързани кондензатори с капацитети $C$ и $\frac{5}{18}C$ е $\frac{23}{18}C$ [0.5 т.]. И накрая еквивалентният капацитет на двойката последователно свързани кондензатори с капацитети $C$ и $\frac{23}{18}C$ (т.е. $C_{AB6}$) е $\frac{23}{41}C$ [0.5 т.]. Записан като десетична дроб с 4 значещи цифри $C_{AB6} = 0.5610C$ [0.5 т.].

б) когато от безкрайната верига се махнат първите два кондензатора (със стойност $C$), то се получава същата безкрайна верига, в която обаче навсякъде $C$ е заменен с $C/2$ [2 т.]. Следователно $C_{MN} = C_{AB}/2$ [1 т.]

в) капацитетът $C_{AB} = \mathrm{f}\,(C)$ между точките A и B, ако във веригата участват безкраен брой кондензатори, може да се изчисли, ако цялата „опашка“ на веригата (без първите два кондензатора) се замени с еквивалентния капацитет $C_{MN}$. Тогава

[1 т.].

Използвайки резултатите от подусловие б), това уравнение се свежда до

[1 т.]. След опростяване се получава квадратно уравнение за $k$:

[0.5 т.] Положителният корен на това уравнение е

[0.5 т.] Записан като десетична дроб с 4 значещи цифри $C_{AB} = 0.5616C$ [1 т.]