Съдържание

НОФ 2008, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 1. Трупче върху наклонена равнина

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2008

Национална олимпиада по физика 2008, областен кръг, тема за 10 – 12 клас · 22 март 2008 г. · 10 т.

Условие

В основата на наклонена равнина с ъгъл на наклона $\alpha = 30^\circ$ се намира малко трупче с маса $m = 3\ \mathrm{kg}$ . На трупчето е придадена начална скорост $v_0 = 4\ \mathrm{m/s}$ нагоре по равнината, при което то се отдалечава на максимално разстояние $L = 1,2\ \mathrm{m}$ от точката на тръгване, и после се връща обратно.

а) Колко е големината на силата на триене $f$ , която действа на трупчето? [4,5 т.]

б) С каква скорост $v_1$ се връща трупчето в точката на тръгване? [3,5 т.]

в) Колко време $t$ след тръгването трупчето се връща в началната точка? [2 т.]

Отговори

Решение

а) Трупчето се изкачва на максимална височина:

h = L\sin\alpha.

[0,5 точки]

При достигане на максималната височина скоростта на трупчето е:

v = 0.

[0,5 точки]

Механичната енергия на трупчето в момента на тръгване е:

E_1 = \frac{mv_0^2}{2},

[0,5 точки]

а в момента на спиране:

E_2 = mgL\sin\alpha

[0,5 точки]

Промяната на механичната енергия е равна на работата на силата на триене:

E_2 - E_1 = -fL,

[1 точка]

откъдето намираме:

f = \frac{mv_0^2}{2L} - mg\sin\alpha

[1 точка]

f = 5\ \mathrm{N}.

[0,5 точки]

б) В момента, когато трупчето се връща в начално си положение, то има пълна енергия:

E_3 = \frac{mv_1^2}{2}.

[0,5 точки]

От тръгването до връщането в началното положение силата на триене извършва работа:

A = -f(2L) = 2mgL\sin\alpha - mv_0^2

[1 точка]

За промяната на механичната енергия е изпълнено:

E_3 - E_1 = A,

[0,5 точки]

откъдето получаваме:

\frac{mv_1^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = 2mgL\sin\alpha - mv_0^2

или

v_1 = \sqrt{4gL\sin\alpha - v_0^2}

[1 точка]

v_1 \approx 2,8\ \mathrm{m/s}.

[0,5 точки]

в) При изкачване трупчето се движи равнозакъснително. Следователно, ускорението на трупчето при изкачване е:

a_1 = \frac{v_0^2}{2L}.

От закона за скоростта при равнозакъснително движение следва, че времето за издигане е:

t_1 = \frac{v_0}{a_1} = \frac{2L}{v_0}.

[0,5 точки]

Аналогично, ускорението при спускане е:

a_2 = \frac{v_1^2}{2L},

а времето за спускане:

t_2 = \frac{v_1}{a_2} = \frac{2L}{v_1}.

[0,5 точки]

Следователно общото време за движение е:

t = t_1 + t_2 = \frac{2L}{v_0} + \frac{2L}{v_1}

[0,5 точки]

t \approx 1,46\ \mathrm{s}.

[0,5 точки]

Оригинал в Архива: 10-12_zad.pdf · официални решения: 10-12_resh.pdf