Съдържание

НОФ 2008, III кръг (национален) — Задача 2. Параболично огледало

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2008

Национален кръг на Олимпиадата по физика 2008 — теоретична тема · 3 май 2008 г. · 15 т.

Условие

Течност е налята в цилиндричен съд Съдът започва да се върти с постоянна ъглова скорост $\omega$ , при което свободната повърхност на течността се изкривява. Всички разглеждания в задачата се отнасят за достатъчно дълго време след началото на въртенето, когато формата на свободната повърхност на течността вече не се променя с времето. Оста $X$ е хоризонтална и лежи в равнината на чертежа, а оста $Y$ е вертикална. Началото $O$ на координатната система се намира в най-ниската точка от изкривената свободна повърхност. Земното ускорение е $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ .

Цилиндричен съд с течност, въртящ се с ъглова скорост ω около вертикалната ос Y; свободната повърхност е парабола с най-ниска точка O; вертикални лъчи се отразяват от повърхността и се събират във фокуса F на оста Y; означени са ъгълът α, координатата x и осите X и Y. — Въртящият се цилиндричен съд с течност: осите $X$ и $Y$ , фокусът $F$ и ъгълът $\alpha$ на наклона на свободната повърхност.

а) Изразете компонентите $a_x$ и $a_y$ на ускорението на точка от свободната повърхност чрез нейната координата $x$ , $\omega$ и $g$ . [2 т.]

б) Нека $\alpha$ е ъгълът на наклона на свободната повърхност в тази точка спрямо хоризонталата. Изразете $\mathrm{tg}\,\alpha$ чрез $x$ , $\omega$ и $g$ . [4 т.]

в) Формата на свободната повърхност на течността се дава с уравнението $y = Ax^2$ . Изразете костантата $A$ чрез $\omega$ и $g$ . [3 т.]

г) Успореден светлинен сноп пада вертикално върху изкривената повърхност на течността. Оказва се, че всички отразени от повърхността лъчи се пресичат в една точка $F$ (фокус) от оста $Y$ на разстояние $f = |OF|$ (фокусно разстояние) от точката $O$ . Изразете фокусното разстояние $f$ чрез константата $A$ , въведена в предишната точка. Пресметнете $f$ , ако съдът се върти с честота $n = 60$ об/min.

Полезна формула: $\mathrm{tg}(2\alpha) = \dfrac{2\,\mathrm{tg}(\alpha)}{1-\mathrm{tg}^2(\alpha)}$ [6 т.]

Отговори

Решение

а) Дадената точка има само центростремително ускорение с големина:

$a_n = \dfrac{v^2}{|x|} = \omega^2|x|$ . [1 т]

Понеже ускорението е насочено хоризонтално, към оста на въртене, неговите компоненти са:

$a_x = -\omega^2 x$

$a_y = 0$ [1 т = 0,5 т + 0,5 т]

б) Разглеждаме малък обем течност с маса $\Delta m$ около т. $A$ . Върху обема действат сила на тежестта:

$G = \Delta mg$ , [0,5 т]

насочена вертикално надолу и сила $N$ , която се дължи на налягането на околната течност, насочена перпендикулярно на свободната повърхност. [0,5 т]

От II принцип на Нютон $\Delta m\vec{a} = \vec{N}+\vec{G}$ , след проектиране по осите $X$ и $Y$ , намираме:

$\Delta ma_x = -\Delta m\omega^2 x = -N\sin\alpha$

$\Delta ma_y = 0 = N\cos\alpha - \Delta mg$ [2 т = 1 т + 1 т]

От двете уравнения намираме:

$\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{\omega^2 x}{g}$ . [1 т]

в) От връзката:

$\mathrm{tg}\,\alpha = \dfrac{dy}{dx}$ [1 т]

и уравнението на повърхността $y = Ax^2$ следва:

$y' = \dfrac{\omega^2 x}{g} = 2Ax$ , [1 т]

откъдето намираме:

$A = \dfrac{\omega^2}{2g}$ . [1 т]

г) Разглеждаме лъч светлина, който пада в точка от повърхността с координата $x$ . Неговият ъгъл на падане е $\alpha$ . От законите за отражение следва, че отразеният лъч сключва ъгъл $2\alpha$ с вертикалата (оста $Y$ ). [1 т]

От чертежа се вижда, че височината, на която отразеният лъч пресича оста $Y$ е:

$f = |OF| = |OH| + |HF| = y + \dfrac{x}{\mathrm{tg}(2\alpha)} = y + x\dfrac{1-\mathrm{tg}^2\alpha}{2\,\mathrm{tg}\,\alpha}$ [2 т]

Като вземем предвид, че $y = Ax^2$ и $\mathrm{tg}\,\alpha = 2Ax$ , намираме:

$f = \dfrac{1}{4A} = \dfrac{g}{2\omega^2}$ [1 т]

При честота на въртене $n = 60$ об/min $= 1$ об/s, ъгловата скорост на течността е:

$\omega = 2\pi n \approx 6{,}28\ \mathrm{rad/s}$ . [1 т]

Окончателно намираме $f \approx 0{,}12\ \mathrm{m}$ . [1 т]

Силите $\vec{N}$ и $\vec{G}$ и ускорението $\vec{a}$ за малък обем течност върху свободната повърхност.

Ходът на отразения лъч: точките $F$ и $H$, ъглите $\alpha$ и $2\alpha$, координатите $x$ и $y$. — Ходът на отразения лъч: точките $F$ и $H$ , ъглите $\alpha$ и $2\alpha$ , координатите $x$ и $y$ .

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf