НОФ 2008, III кръг (национален) — Задача 2. Параболично огледало

Национален кръг на Олимпиадата по физика 2008 — теоретична тема · 3 май 2008 г. · 15 т.

Условие

Течност е налята в цилиндричен съд. Съдът започва да се върти с постоянна ъглова скорост $\omega$, при което свободната повърхност на течността се изкривява. Всички разглеждания в задачата се отнасят за достатъчно дълго време след началото на въртенето, когато формата на свободната повърхност на течността вече не се променя с времето. Оста $X$ е хоризонтална и лежи в равнината на чертежа, а оста $Y$ е вертикална. Началото $O$ на координатната система се намира в най-ниската точка от извивената свободна повърхност. Земното ускорение е $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$.

а) Изразете компонентите $a_x$ и $a_y$ на ускорението на точка от свободната повърхност чрез нейната координата $x$, $\omega$ и $g$. [2 т.]

б) Нека $\alpha$ е ъгълът на наклона на свободната повърхност в тази точка спрямо хоризонталата. Изразете $\mathrm{tg}\,\alpha$ чрез $x$, $\omega$ и $g$. [4 т.]

в) Формата на свободната повърхност на течността се дава с уравнението $y = Ax^2$. Изразете костантата $A$ чрез $\omega$ и $g$. [3 т.]

г) Успореден светлинен сноп пада вертикално върху изкривената повърхност на течността. Оказва се, че всички отразени от повърхността лъчи се пресичат в една точка $F$ (фокус) от оста $Y$ на разстояние $f = |OF|$ (фокусно разстояние) от точката $O$. Изразете фокусното разстояние $f$ чрез константата $A$, въведена в предишната точка. Пресметнете $f$, ако съдът се върти с честота $n = 60$ об/min.

Полезна формула: $\mathrm{tg}(2\alpha) = \dfrac{2\,\mathrm{tg}(\alpha)}{1-\mathrm{tg}^2(\alpha)}$ [6 т.]

Отговори

Решение

---

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf