НОФ 2009, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 1. Тежести, окачени на макари

• а) $\frac{\Delta x_1}{\Delta x_2} = \frac{v_1}{v_2} = \frac{a_1}{a_2} = 2$

  Точките по условие: $\Delta x_1/\Delta x_2$ — 0,5 т; $v_1/v_2$ — 0,5 т; $a_1/a_2$ — 1 т.

• б) Върху тежестите действат теглата $m_1g$, $m_2g$ и опъните $T_1$ (за $m_1$) и $T_2$ (за $m_2$); неподвижната макара се държи от $T_2$ нагоре и от два опъна $T_1$ надолу, а подвижната — от два опъна $T_1$ нагоре и $T_2$ надолу. За всяка липсваща сила се отнемат 0,2 т.

• в) $a_1 = \frac{2(2m_1 - m_2)g}{4m_1 + m_2},\qquad a_2 = \frac{(2m_1 - m_2)g}{4m_1 + m_2}$

• г) Лявата тежест тръгва надолу при $2m_1 > m_2$ и нагоре при $2m_1 < m_2$.

а) Тъй като тежестта с маса $m_2$ е окачена на подвижна макара, преместването на тежестта $\Delta x_2$ е два пъти по-малко от преместването на нишката, което пък е равно на преместването на тежестта с маса $m_1$. Следователно $\Delta x_1/\Delta x_2 = 2$ (0,5 т.). Тъй като това е вярно за всеки интервал време, отношението на скоростите

(0,5 т.)

Отношението на ускоренията е

(1 т.)

б) силите, действащи на тежестите и макарите, са нарисувани на фигурата. (2 т.) (за всяка липсваща сила се отнемат 0,2 т)

в) написваме уравненията на движение за двете тежести:

(1 т.)

(1 т.)

От (1.1) следва $a_1 = 2a_2$ (1.5), а от свойствата на подвижната макара — $T_2 = 2T_1$ (1 т.) (1.6) (отчитайки нулевата маса на макарите и нишките). Решавайки уравненията (1.3) – (1.6) получаваме

(1 т.)

(1 т.)

г) от (1.7) следва, че ако $2m_1 > m_2$ (0,5 т.), лявата тежест ще тръгне надолу, а при $2m_1 < m_2$ — нагоре (0,5 т.).