Съдържание

НОФ 2009, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 3. Измерител на мощност

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2009

Национална олимпиада по физика 2009, областен кръг, тема за 10. – 12. клас · 22 март 2009 г. · 10 т.

Условие

Към противоположните ръбове на тънка квадратна златна пластинка с дължина на страната $L = 5\ \mathrm{mm}$ и дебелина $d = 0{,}01\ \mathrm{mm}$ е свързан омметър. Горната и долната повърхности на пластинката са почернени така, че пластинката изцяло да поглъща падащото върху нея излъчване. Първоначално температурата на пластинката е равна на температурата на околната среда $t_1 = 20\ ^\circ\mathrm{C}$ , а съпротивлението й е $R_1 = 1000\ \Omega$ . Към горната повърхност на пластинката е насочен сноп светлина от лазер с дължина на вълната $\lambda = 500\ \mathrm{nm}$ . Съпротивлението на пластинката нараства и достига максимална стойност $R_2 = 1100\ \Omega$ .

Квадратна тънка пластинка в перспектива, отгоре ѝ падат три вълнообразни стрелки с надпис $\lambda = 500$ nm; дебелината $d$ е означена отстрани, страната — с $L$; към противоположните ръбове е свързан омметър, означен с $\Omega$. — Почернената златна пластинка със страна $L$ и дебелина $d$ , свързана към омметър и осветена от лазер с $\lambda = 500\ \mathrm{nm}$ .

Данни:

константа на Планк $h = 6{,}64\cdot10^{-34}\ \mathrm{J.s}$ ;

скорост на светлината: $c = 3{,}00\cdot10^{8}\ \mathrm{m/s}$ .;

константа на Стефан-Болцман $\sigma = 5{,}67\cdot10^{-8}\ \mathrm{W.m^{-2}.K^{-4}}$ ,

температурен коефициент на съпротивление на златото $\alpha = 2{,}9\cdot10^{-3}\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}$ ;

специфичен топлинен капацитет на златото $C_{\mathrm{Au}} = 230\ \mathrm{J/(kg.K)}$ ,

плътност на златото: $\rho = 19\,300\ \mathrm{kg/m^3}$ .

а) Пресметнете до каква крайна температура $t_2$ се е загряла пластинката. [2 т.]

б) Ако приемете, че пластинката излъчва и поглъща топлина като абсолютно черно тяло, намерете мощността $P$ на лазера (светлинната енергия, излъчено за единица време). [3 т.]

в) Колко фотона ( $N$ ) излъчва лазерът за време $t = 1\ \mathrm{s}$ ? [3 т.]

г) Лазерът се изключва и пластинката започва да се охлажда. За колко време $\tau$ температурата на пластинката ще намалее с $\Delta t = 1\ ^\circ\mathrm{C}$ ? [2 т.]

Отговори

Решение

а) За началното и за крайното съпротивление имаме:

R_1 = R_0(1 + \alpha t_1)

(0,5 т.)

R_2 = R_0(1 + \alpha t_2)

(0,5 т.)

където $R_0$ е съпротивлението на пластинката при $0\ ^\circ\mathrm{C}$ . Разделяме двете уравнения почленно:

\frac{R_2}{R_1} = \frac{(1 + \alpha t_2)}{(1 + \alpha t_1)},

откъдето намираме крайната температура на пластинката:

t_2 = t_1\frac{R_2}{R_1} + \frac{(R_2 - R_1)}{\alpha R_1} = 56{,}5\ ^\circ\mathrm{C}.

(1,0 т.)

Забележка: Допуска се и решение, при което се използва приблизителното равенство $R_2 = R_1(1 + \alpha(t_2 - t_1))$ , при което крайният отговор е $t_2 = t_1 + \dfrac{(R_2 - R_1)}{\alpha R_1} = 54{,}5\ ^\circ\mathrm{C}$ .

б) За време $t$ пластинката излъчва през двете си основи количество топлина:

Q_{\mathrm{изл}} = \sigma T_2^4(2L^2)t

(1,0 т.)

и поглъща енергия от лазера и от топлинното излъчване на околната среда:

Q_{\mathrm{погл}} = Pt + \sigma T_1^4(2L^2)t

(1,0 т.)

където $T_1 = 293\ \mathrm{K}$ и $T_2 = 329{,}5\ \mathrm{K}$ са абсолютните температури на пластинката съответно преди и след облъчването. Максимална температура се достига, когато

Q_{\mathrm{изл}} = Q_{\mathrm{погл}}.

Оттук намираме мощността на лазера:

P = 2\sigma L^2(T_2^4 - T_1^4) = 0{,}0125\ \mathrm{W}

(1,0 т.)

Забележка: При приблизителния метод на пресмятане на температурата в т. а), числената стойност за мощността е $0{,}0117\ \mathrm{W}$ , която също се приема за верен отговор.

в) За време $t = 1\ \mathrm{s}$ лазерът излъчва енергия:

E = Pt

(0,5 т.)

Ако $N$ е броят на излъчените фотони, а $\nu$ – тяхната честота,

E = Nh\nu

(1,0 т.)

Вземаме предвид, че:

\nu = \frac{c}{\lambda}

(0,5 т.)

и намираме:

N = \frac{P\lambda t}{hc} = 3{,}14\cdot10^{16}

фотона. (1,0 т.)

Забележка: При приблизителния метод на пресмятане на температурата в т. а), числената стойност е $N = 2{,}94\cdot10^{16}$ фотона, която също се приема за верен отговор.

г) За време $\tau$ пластинката ще изгуби такова количество топлина $Q$ , каквото би получила от лазера за същото време:

Q = P\tau.

(0,5 т.)

Като вземем предвид, че:

Q = mC_{\mathrm{Au}}\Delta t

(0,5 т.)

m = \rho L^2 d,

получаваме:

\tau = \frac{\rho L^2 d\, C_{\mathrm{Au}}\Delta t}{P} \approx 0{,}089\ \mathrm{s}

(1,0 т.)

Забележка: При приблизителния метод на пресмятане на температурата в т. а), числената стойност е $\tau = 0{,}095\ \mathrm{s}$ , която също се приема за верен отговор.

Оригинал в Архива: NOF2_2009_10-12problems.pdf · официални решения: NOF2_2009_10-12solutions.pdf