Съдържание

НОФ 2009, II кръг (областен), 8. клас — Задача 1. Колоездач между два града

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2009

Национална олимпиада по физика 2009, областен кръг, тема за 8. клас · 22 март 2009 г. · 10 т.

Условие

Колоездач изминава разстоянието между два града. Първата четвърт от разстоянието той се спуска със скорост $v_1 = 30\ \mathrm{km/h}$ , втората четвърт се движи хоризонтално със скорост $v_2 = 20\ \mathrm{km/h}$ , а останалата половина от разстоянието се изкачва със скорост $v_3 = 10\ \mathrm{km/h}$ .

а) Определете средната скорост на колоездача. [5 т.]

б) Определете разстоянието между двата града, ако цялото пътуване е продължило 2 часа и 20 минути. [2 т.]

в) Колко време ще продължи обратното пътуване, ако първата половина от пътя колоездачът изминава със скорост $v_4 = 30\ \mathrm{km/h}$ , следващата четвърт със скорост $v_5 = 20\ \mathrm{km/h}$ , а последната четвърт – със скорост $v_6 = 10\ \mathrm{km/h}$ . [3 т.]

Отговори

Решение

а) Средната скорост по дефиниция е $v_{\mathrm{ср}} = \dfrac{s}{t}$ , където $s$ целия път, изминат от колоездача, а $t$ – времето за предвижване от единия до другия град. [ 1 т. ]

$t = t_1 + t_2 + t_3$ , където $t_1 = \dfrac{s_1}{v_1}$ и т.н. [ 1 т. ] Използвайки, че $s_1 = s_2 = s/4$ и $s_3 = s/2$ , [ 1 т. ] за средната скорост получаваме:

v_{\mathrm{ср}} = \frac{s}{\dfrac{s}{4v_1} + \dfrac{s}{4v_2} + \dfrac{s}{2v_3}} = \frac{4v_1v_2v_3}{v_2v_3 + v_1v_3 + 2v_1v_2}\quad \textbf{[ 1 т. ]}

или

v_{\mathrm{ср}} = \frac{4.10.20.30}{10.20 + 10.30 + 2.30.20} = \frac{24000}{1700} \approx 14{,}1\ \mathrm{km/h}\quad \textbf{[ 1 т. ]}

б) Превръщаме времето в часове $2\ \mathrm{h}\ 20\ \mathrm{min} = 2\ 1/3\ \mathrm{h} = 7/3\ \mathrm{h}$ [ 1 т. ] откъдето получаваме пътя $s = v_{\mathrm{ср}}\,.\,t \approx 32{,}9\ \mathrm{km}$ [ 1 т. ]

в) Подобно на а), за средната скорост в обратна посока, получаваме

v_{\mathrm{ср}} = \frac{s}{\dfrac{s}{2v_4} + \dfrac{s}{4v_5} + \dfrac{s}{4v_6}} = \frac{4v_4v_5v_6}{v_4v_5 + v_4v_6 + 2v_5v_6}\quad \textbf{[ 1 т. ]}

или

v_{\mathrm{ср}} = \frac{4.10.20.30}{30.20 + 10.30 + 2.10.20} = \frac{24000}{1300} \approx 18{,}5\ \mathrm{km/h}\quad \textbf{[ 1 т. ]}

времето определяме от

t = \frac{s}{v_{\mathrm{ср}}} = \frac{32{,}9}{18{,}5} \approx 1{,}78\ \mathrm{h} \approx 1\ \mathrm{h}\ 47\ \mathrm{min}\quad \textbf{[ 1 т. ]}

(Върху сканираното решение е добавена ръкописна бележка „ $\approx 3{,}92\ \mathrm{m/s}$ “ до резултата от а).)

Оригинал в Архива: NOF2_2009_8problems.pdf · официални решения: NOF2_2009_8solutions.pdf