Съдържание

НОФ 2009, II кръг (областен), 9. клас — Задача 2. Превключване на кондензатори

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2009

Национална олимпиада по физика 2009, областен кръг, тема за 9. клас · 22 март 2009 г. · 10 т.

Условие

На фиг. 1 е показана електрическа схема с източник, чието напрежение е $U_0 = 120\ \mathrm{V}$ и кондензаторите 1 и 2 с капацитети съответно $C_1 = 2\ \mathrm{\mu F}$ и $C_2 = 1\ \mathrm{\mu F}$ . Ключът $K$ се поставя в положение 1, кондензаторът 1 се зарежда и ключът $K$ се премества в положение 2.

Електрическа схема: източник $U_0$ в долния клон, кондензатор $C_1$ в средния клон и кондензатор $C_2$ в горния клон; ключът $K$ превключва между контакт 1 (към източника) и контакт 2 (към кондензатор $C_2$). — Фиг. 1

а) Определете зарядите $q_1$ и $q_2$ на кондензаторите. [3,5 т.]

б) Ключът $K$ се поставя отново в положение 1 и след дозареждането на кондензатора 1 се връща в положение 2. Определете зарядите $q_1'$ и $q_2'$ на кондензаторите. [3,5 т.]

в) Какво количество топлина $Q$ е отделено от кондензаторите в околната среда (въздуха) при двукратното превключване на ключа $K$ от положение 1 в положение 2? Енергията на зареден кондензатор е $W = \dfrac{q^2}{2C}$ . [3 т.]

Отговори

Решение

а) В положение 1 на ключа $K$ кондензаторът 1 се зарежда и неговият заряд е

q_0 = C_1U_0 = 240\ \mathrm{\mu C}.

(0,5 т.)

При поставянето на ключа $K$ в положение 2 започва преразпределение на заряда $q_0$ между двата кондензатора, докато се изравнят напреженията им:

\frac{q_1}{C_1} = \frac{q_2}{C_2}.

(0,5 т.)

От запазването на електричния заряд върху кондензаторите при преразпределянето му имаме

q_1 + q_2 = q_0.

(0,5 т.)

Съвместното решаване на тази система уравнения дава

q_1 = \frac{C_1}{C_1 + C_2}q_0 = \frac{2}{3}q_0 = 160\ \mathrm{\mu C},

(1 т.)

q_2 = \frac{C_2}{C_1 + C_2}q_0 = \frac{1}{3}q_0 = 80\ \mathrm{\mu C}.

(1 т.)

б) При повторно поставяне на ключа $K$ в положение 1 кондензаторът 1 се дозарежда и зарядът му става $q_0 = C_1U_0$ (0,5 т.). След превключване в положение 2 имаме

\frac{q_1'}{C_1} = \frac{q_2'}{C_2},

(0,5 т.)

q_1' + q_2' = q_0 + q_2.

(0,5 т.)

Съвместното решаване дава за $q_1'$ и $q_2'$ :

q_1' = \frac{C_1(C_1 + 2C_2)}{(C_1 + C_2)^2}q_0 = \frac{8}{9}q_0 \approx 213\ \mathrm{\mu C},

(1 т.)

q_2' = \frac{C_2(C_1 + 2C_2)}{(C_1 + C_2)^2}q_0 = \frac{4}{9}q_0 \approx 107\ \mathrm{\mu C}.

(1 т.)

в) Нека означим енергиите на кондензаторите с

W_0 = \frac{q_0^2}{2C_1},\quad W_1 = \frac{q_1^2}{2C_1},\quad W_2 = \frac{q_2^2}{2C_2},\quad W_1' = \frac{(q_1')^2}{2C_1},\quad W_2' = \frac{(q_2')^2}{2C_2}

(0,5 т.)

При първото превключване се обменя количество топлина

Q_1 = W_1 + W_2 - W_0,

(0,5 т.)

а при второто превключване

Q_2 = W_1' + W_2' - W_0 - W_2.

(0,5 т.)

Тогава общото обменено количество толина е

Q = Q_1 + Q_2 = W_1' + W_2' + W_1 - 2W_0,

(0,5 т.)

Q = \left(\frac{32}{81} + \frac{16}{81} + \frac{2}{9} - 1\right)\frac{q_0^2}{C_1} = -\frac{5}{27}\frac{q_0^2}{C_1} \approx -5\ \mathrm{mJ}.

(0,75 т.)

Знакът минус показва, че кондензаторите отделят топлина $|Q|$ . (0,25 т.)

Оригинал в Архива: NOF2_2009_9problems.pdf · официални решения: NOF2_2009_9solutions.pdf