Съдържание

НОФ 2009, III кръг (национален) — Задача 2. Равновесие течност – пари

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2009

Олимпиада по физика 2009, Национален кръг, Плевен — теоретични задачи · 9 май 2009 г. · 15 т.

Условие

С един mol вода, намиращ се във вертикален цилиндър под тежко подвижно бутало, се извършва цикъл на Карно с температура на нагревателя $T$ и температура на охладителя $T - \Delta T$ , където $\dfrac{\Delta T}{T} \ll 1$ . В началното състояние има само течност. При нагряването водата се изпарява, като течността и парите са в равновесие. Нагряването продължава, докато водата се изпари напълно. След това се извършва адиабатен процес, при който налягането пада от $p$ до $p - \Delta p$ , като $\dfrac{\Delta p}{p} \ll 1$ . Цикълът се затваря с още един изотермен и един адиабатен процес.

Числени стойности

Специфична топлина на кипене на водата $\lambda = 2{,}26\ \dfrac{\mathrm{MJ}}{\mathrm{kg}}$

Атмосферно налягане $p_0 = 1\ \mathrm{atm} = 1.10^5\ \mathrm{Pa}$

Универсална газова константа $R = 8{,}3\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{mol.K}}$

Земно ускорение $g = 10\ \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}$

Моларна маса на водата $\mu = 18\ \dfrac{\mathrm{g}}{\mathrm{mol}}$

а) Начертайте на $pV$ -диаграма графиката на този цикъл на Карно. [2 т.]

б) Получете съотношението

\frac{\Delta p}{\Delta T} = \frac{\lambda}{T(\mathrm{v}_п - \mathrm{v}_т)},

където $\lambda$ е специфичната топлина на кипене на водата, а $\mathrm{v}_п$ и $\mathrm{v}_т$ са специфичните обеми съответно на парите и течността. (Специфичен обем се дефинира чрез равенството $\mathrm{v} = \dfrac{V}{m}$ , където $V$ е обемът на съда, а $m$ – масата на веществото.) [5 т.]

в) Намерете налягането на водните пари, когато те се намират в равновесие с вода при температура $t = 103\ ^\circ\mathrm{C}$ . Разглеждайте парите като идеален газ. [5 т.]

г) Оценете температурата на варене в тенджера под налягане, ако диаметърът на предпазния клапан е $d = 5\ \mathrm{mm}$ , а тежестта, покриваща клапана, има маса $m = 60\ \mathrm{g}$ . [3 т.]

Отговори

Решение

а) Цикълът на Карно е показан на фиг. 1 [2 т.]. Налягането е постоянно при изотермните процеси (подвижно бутало). Адиабатите са приблизително отсечки, като $\Delta p \ll p$ .

б) За цикъла е в сила съотношението

A' = \eta Q_{пол}. \qquad [1\ \text{т.}]

Като отчетем, че

\eta = \frac{\Delta T}{T},\qquad Q_{пол} = \mu\lambda, \qquad [2\ \text{т.}]

A' = \Delta p(V_п - V_т) = \mu\Delta p(\mathrm{v}_п - \mathrm{v}_т), \qquad [1\ \text{т}]

намираме

\frac{\Delta p}{\Delta T} = \frac{\lambda}{T(\mathrm{v}_п - \mathrm{v}_т)}. \qquad [1\ \text{т.}]

в) Водата кипи при температура $T_0 = 373\ \mathrm{K}$ и налягане на парите $p_0 = 1\,\mathrm{atm}$ . [1 т.] Тогава имаме

\Delta p = \frac{\lambda\Delta T}{T(\mathrm{v}_п - \mathrm{v}_т)} \approx \frac{\lambda\Delta T}{T\mathrm{v}_п}, \qquad [1\ \text{т.}]

тъй като $\mathrm{v}_п \gg \mathrm{v}_т$ .

Като отчетем, че

\mathrm{v}_п = \frac{RT}{\mu p}\ [0{,}5\ \text{т.}],\qquad \frac{\Delta p}{p} \approx \frac{p - p_0}{p_0}\ [0{,}25\ \text{т.}],\qquad \frac{\Delta T}{T} \approx \frac{T - T_0}{T_0}\ [0{,}25\ \text{т.}]

намираме

p \approx \left(1 + \frac{\mu\lambda\Delta T}{RT_0^2}\right)p_0 \approx 1{,}1\ \mathrm{atm}. \qquad [2\ \text{т.}]

г) Като разсъждаваме по същия начин

\Delta T = \frac{\Delta p(\mathrm{v}_п - \mathrm{v}_т)T}{\lambda} \approx \frac{\Delta p\,\mathrm{v}_п T}{\lambda} = \frac{\Delta p}{p}\frac{RT^2}{\mu\lambda}, \qquad [1\ \text{т.}]

Тъй като налягането на парите в тенджерата е $p = p_0 + \dfrac{4mg}{\pi d^2}$ [0,5 т.]

намираме

T \approx \left(1 + \frac{RT_0(p - p_0)}{p\mu\lambda}\right)T_0 \approx 380\ \mathrm{K},\quad t \approx 107\ ^\circ\mathrm{C} \qquad [1{,}5\ \text{т.}]

pV-диаграма на цикъл на Карно: почти правоъгълен контур с хоризонтални изотерми T и T−ΔT и наклонени къси адиабати. — Фиг. 1 към решението на задача 2. Цикълът на Карно в $pV$ -диаграма: изотермите при $T$ и $T-\Delta T$ са хоризонтални отсечки при налягания $p$ и $p-\Delta p$ , а адиабатите са приблизително отсечки между обемите $V_т$ и $V_п$ .

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf