Съдържание

НОФ 2009, III кръг (национален) — Задача 4. Разпадане на $\pi^0$ мезон

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2009

Олимпиада по физика 2009, Национален кръг, Плевен — теоретични задачи · 9 май 2009 г. · 15 т.

Условие

Пи-нула мезоните ( $\pi^0$ ) са нестабилни частици, които са открити през 1950 г. на циклотрона в Беркли (САЩ) при бомбардиране на мишени с бързи протони. Пи-нула мезоните имат изключително кратко време на живот ( $8{,}4.10^{-17}\ \mathrm{s}$ ) и се разпадат.

Пи-нула мезон, чиято кинетична енергия е равна на енергията на покой на $\pi^0$ мезона, се разпада в движение на два гама-кванта. Определете:

Данни: маса на покой на $\pi^0$ мезона $m = 2{,}40.10^{-28}\ \mathrm{kg}$ ; скорост на светлината във вакуум $c = 3{,}00.10^{8}\ \mathrm{m/s}$ ; елементарен електричен заряд $e = 1{,}60.10^{-19}\ \mathrm{C}$ ; константа на Планк $h = 6{,}63.10^{-34}\ \mathrm{J.s}$ .

Полезна формула: $p = \dfrac{1}{c}\sqrt{E^2 - E_0^2}$ – импулс на частица с пълна релативистка енергия $E$ и енергия на покой $E_0$ .

а) енергията на покой $E_0$ на $\pi^0$ мезона и я изразете в мегаелектронволтове (MeV); [1 т.]

б) пълната релативистка енергия $E$ на $\pi^0$ мезона; [1 т.]

в) дължината на вълната на Дьо Бройл на $\pi^0$ мезона; [2 т.]

г) минималния възможен ъгъл между посоките, в които се движат двата $\gamma$ -кванта; [7 т.]

д) енергиите $E_1$ и $E_2$ (в MeV) на двата $\gamma$ -кванта, когато ъгълът между посоките, в които те се движат, е възможно най-голям. [4 т.]

Отговори

Решение

а) $E_0 = mc^2 = 2{,}16.10^{-11}\ \mathrm{J} = 135\ \mathrm{MeV}$ . [1 т]

б) $E = E_0 + E_k = 2E_0 = 270\ \mathrm{MeV}$ . [1 т]

в) Релативисткият импулс на частицата е $p = \dfrac{1}{c}\sqrt{E^2 - E_0^2} = \dfrac{E_0}{c}\sqrt{3}$ . [1 т]

Дължината на вълната на Дьо Бройл е $\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{hc}{E_0\sqrt{3}} = 5{,}3.10^{-15}\ \mathrm{m}$ . [1 т]

г) Записваме законите за запазване на енергията и импулса:

(1)\quad 2E_0 = E_1 + E_2;

(2)\quad \mathbf{p} = \mathbf{p}_1 + \mathbf{p}_2. \qquad [1\ \text{т}]

Импулсите на $\gamma$ -квантите са $p_1 = \dfrac{E_1}{c}$ и $p_2 = \dfrac{E_2}{c}$ . [1 т]

От векторния триъгълник на импулсите (фиг. 1) с помощта на косинусовата теорема получаваме:

(3)\quad \frac{3E_0^2}{c^2} = \frac{E_1^2}{c^2} + \frac{E_2^2}{c^2} + \frac{2E_1E_2}{c^2}\cos\theta. \qquad [1\ \text{т}]

Вдигаме двете страни на равенство (1) на квадрат:

(4)\quad 4E_0^2 = E_1^2 + E_2^2 + 2E_1E_2.

и изваждаме (3) от (4). Получаваме:

(5)\quad \sin\frac{\theta}{2} = \frac{E_0}{\sqrt{4E_1E_2}}. \qquad [2\ \text{т}]

Използваме неравенството между средното аритметично и средното геометрично $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$ . Както е известно, равенството е при $a = b$ .

Следователно в нашия случай знаменателят във формула (5) има максимална стойност при $E_1 = E_2 = E_0$ . [1 т]

Тогава ъгълът $\theta$ е минимален: $\theta_{\min} = 60^\circ$ . [1 т]

д) Ъгълът на разлитане $\theta$ на двата $\gamma$ -кванта е максимален, когато единият квант се движи в същата посока, в която се е движел $\pi^0$ мезонът, а другият – в противоположната посока (фиг. 2):

\theta_{\max} = 180^\circ. \qquad [1\ \text{т}]

В този случай равенство (5) добива вида:

(6)\quad \frac{E_0}{\sqrt{4E_1(2E_0 - E_1)}} = 1. \qquad [1\ \text{т}]

Това е квадратно уравнение за $E_1$ , което има два корена:

(7)\quad E_1 = \frac{E_0}{2}\left(2 \pm \sqrt{3}\right). \qquad [1\ \text{т}]

По-големият корен $E_{11} = 252\ \mathrm{MeV}$ дава енергията на кванта, който се разпространява в същата посока, в която се е движил пионът преди разпадането. Вторият корен $E_{12} = 18\ \mathrm{MeV}$ съответства на енергията на кванта, който се разпространява в противоположната посока. [1 т]

Векторен триъгълник с вектори p1 и p2, чиято сума е p, и ъгъл θ между продълженията им. — Фиг. 1 към решението на задача 4. Векторен триъгълник на импулсите: $\vec{p} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2$ , като $\theta$ е ъгълът между посоките на двата $\gamma$ -кванта.

Схема с колинеарни вектори: p надясно, p1 надясно и p2 наляво, с означен ъгъл θ_max между тях. — Фиг. 2 към решението на задача 4. Максимален ъгъл на разлитане: единият квант се движи по посоката на импулса $\vec{p}$ на мезона, а другият — в противоположната посока, т.е. $\theta_{\max} = 180^\circ$ .

Оригинал в Архива: th_zad.pdf · официални решения: th_resh.pdf