Съдържание

НОФ 2010, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 2. Пудинг със сливи

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2010

Олимпиада по физика 2010, национален кръг, Плевен — тема за 10.–12. клас, първи ден · 1 май 2010 г. · 15 т.

Условие

Един от първите модели на атомите (в частност на водородния атом) е така наречения модел „пудинг със сливи“, предложен от J. J. Thomson през 1904 г. В него се предполага, че атомите съдържат $n$ електрона, намиращи се в еднородно положително заредено кълбо с радиус $R$ и с електричен заряд $ne$ . Нататък ще разглеждаме само случая на водородния атом. Удобно е да се използва величината обемна плътност $\rho$ на електричния заряд, която се определя като съдържащия се електричен заряд в единица обем, $\rho = \Delta q / \Delta V$ .

а) Намерете силата $F(r)$ , която действа на електрона, когато се намира на разстояние $r$ от центъра на положително зареденото кълбо при $r < R$ . [2 т.]

б) Начертайте зависимостта на силата $F(r)$ от разстоянието $r$ при $r \in [0, \infty]$ . [2 т.]

в) Намерете работата $A$ , необходима да се премести неподвижен електрон от центъра на положително зареденото кълбо до безкрайност. [3 т.]

г) Нека тази работа $A$ е равна на експериментално измерената отделителна работа на водорода (енергията на йонизация) $A_\mathrm{отд.} = 13{,}6\ \mathrm{eV}$ . Изчислете стойността на радиуса $R$ на кълбото. [2 т.]

д) Намерете формула за честотата $\nu$ на трептене на електрона вътре в кълбото. [2 т.]

е) Ако електронът при трептенето си излъчва електромагнитна вълна, колко ще е дължината на вълната на тази вълна?

На кой електромагнитен диапазон ще принадлежи тя? [2 т.]

ж) Съществува ли наистина преход във водородния атом, при който да се поглъща (или излъчва) светлина с такава дължина на вълната? Обосновете отговора си. [2 т.]

Отговори

а) $F(r) = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R^3}\, r$
б) Линейно нарастване $F \sim r$ за $r < R$ до максимум при $r = R$ , след което спадане $F \sim r^{-2}$ .

Виж фигурата към решението.
в) $A_{0-\infty} = A_{0-R} + A_{R-\infty} = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 R} + \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R} = \frac{3e^2}{8\pi\varepsilon_0 R}$
г) $R = \frac{3e^2}{8\pi\varepsilon_0 A_\mathrm{отд}} = 1{,}56\cdot 10^{-10}\ \mathrm{m} = 1{,}56\ \text{Å}$

Отпечатаната стойност. В числовото заместване в решението е изписано 13,8 вместо 13,6 eV; с 13,6 eV се получава $1{,}59\cdot 10^{-10}$ m.
д) $\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R^3 m}}$
е) $\lambda = \frac{c}{\nu} = \frac{2\pi cR}{e}\sqrt{4\pi\varepsilon_0 Rm} = 2{,}31\cdot 10^{-7}\ \mathrm{m} = 231\ \mathrm{nm}$

Светлината е ултравиолетова. Отпечатани точки: [1,5 т] за дължината на вълната и [0,5 т] за диапазона.
ж) $\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2} = \frac{\lambda_{\min}}{\lambda} = 0{,}396,\quad \lambda_{\min} = \frac{hc}{A_\mathrm{отд}} = 91{,}4\ \mathrm{nm}$

Изисква $n = 1$ , но тогава при $m > 1$ е $1 - 1/m^2 \ge 0{,}75 \ne 0{,}396$ .

Решение

а) Когато електронът се намира на разстояние $r$ от центъра на положително зареденото кълбо при $r < R$ , на него му действа Кулонова сила само от частта заряд, намираща се на разстояние от центъра $x \le r$ [0,5 т.]. Обемната плътност $\rho$ на електричния заряд вътре в кълбото е $\rho = \dfrac{e}{\frac{4}{3}\pi R^3}$ , следователно зарядът на кълбото с радиус $r$ е

q(r) = \rho V(r) = \frac{e}{\frac{4}{3}\pi R^3}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 = e\frac{r^3}{R^3}

[0,5 т.]

Следователно, силата $F(r)$ , която действа на електрона, когато се намира на разстояние $r$ от центъра на положително зареденото кълбо при $r < R$ , е

F(r) = \frac{eq(r)}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\cdot\frac{r^3}{R^3} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R^3}\, r

[1 т.]

б) Зависимостта на силата $F(r)$ от разстоянието $r$ при $r \in [0, \infty]$ изглежда така: [2 т.]

Зависимостта $F(r)$: линейно нарастване $\sim r$ до $r = R$ и спадане $\sim r^{-2}$ извън кълбото. — Зависимостта $F(r)$ : линейно нарастване $\sim r$ до $r = R$ и спадане $\sim r^{-2}$ извън кълбото.

в) Работата $A$ , необходима да се премести неподвижен електрон от центъра на положително зареденото кълбо до безкрайност, е сума на две работи: работата $A_{0-R}$ , необходима да се премести неподвижен електрон от центъра на положително зареденото кълбо до неговата повърхност, и работата $A_{R-\infty}$ , необходима да се премести неподвижен електрон от повърхността на кълбото до безкрайност [0,5 т.]. От горната фигура се вижда, че

A_{0-R} = \frac{F_{\max}\cdot R}{2} = \frac{F(R)\cdot R}{2} = \frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0 R}

[1 т.]

Втората работа $A_{R-\infty}$ е равна на $A_{R-\infty} = e\cdot\varphi(R) = \dfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R}$ [1 т.]. Следователно, $A_{0-\infty} = A_{0-R} + A_{R-\infty} = \dfrac{3e^2}{8\pi\varepsilon_0 R}$ [0,5 т.].

г) Радиусът $R$ на кълбото е

R = \frac{3e^2}{8\pi\varepsilon_0 A_\mathrm{отд}}\ \textbf{[0,5 т.]} = \frac{3(1{,}6\cdot 10^{-19})^2}{8\pi\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}\cdot 13{,}8\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}} = 1{,}56\cdot 10^{-10}\ \mathrm{m} = 1{,}56\ \text{Å}

[1,5 т.]

(В отпечатания източник в знаменателя стои 13,8 вместо 13,6 eV — виж бележките към транскрипцията.)

д) Тъй като силата $F(r)$ , която действа на електрона, когато се намира вътре в кълбото, е пропорционална на радиуса $r$ , то електронът ще извършва хармонично трептене [0,5 т.] с честота

\nu = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 R^3 m}}

[1,5 т.]

е) Дължината на вълната на електромагнитната вълна, ако електронът при трептенето си излъчва такава, е

\lambda = \frac{c}{\nu} = 2\pi c\sqrt{\frac{4\pi\varepsilon_0 R^3 m}{e^2}} = \frac{2\pi cR}{e}\sqrt{4\pi\varepsilon_0 Rm}

[0,5 т.]

= \frac{2\pi\cdot 3\cdot 10^{8}\cdot 1{,}56\cdot 10^{-10}}{1{,}6\cdot 10^{-19}}\sqrt{4\pi\cdot 8{,}85\cdot 10^{-12}\cdot 1{,}56\cdot 10^{-10}\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}} = 2{,}31\cdot 10^{-7}\ \mathrm{m} = 231\ \mathrm{nm}

[1 т.]

Тази светлина е ултравиолетова. [0,5 т.]

ж) Формулата на Ридберг за енергетичните преходи във водородния атом, $E_{n\to m} = \mathrm{const}\left(\dfrac{1}{n^2} - \dfrac{1}{m^2}\right)$ , може да се пренапише във вида $\dfrac{hc}{\lambda_{n\to m}} = A_\mathrm{отд}\left(\dfrac{1}{n^2} - \dfrac{1}{m^2}\right)$ , а оттам

\frac{1}{\lambda_{n\to m}} = \frac{1}{\lambda_{\min}}\left(\frac{1}{n^2} - \frac{1}{m^2}\right)

[0,5 т.]

където

\lambda_{\min} = \frac{hc}{A_\mathrm{отд}} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{13{,}6\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19}} = 9{,}14\cdot 10^{-8}\ \mathrm{m} = 91{,}4\ \mathrm{nm}.

Следователно за да съществува такъв преход, трябва да съществуват цели числа $n$ и $m$ такива, че $\dfrac{1}{n^2} - \dfrac{1}{m^2} = \dfrac{\lambda_{\min}}{\lambda} = 0{,}396 \approx \dfrac{1}{2{,}53}$ . В такъв случай обаче $n$ може да е само 1 [0,5 т.]. Но тогава при $m > 1$ , $1 - \dfrac{1}{m^2} \ge 0{,}75$ [0,5 т.]. Излиза, че такъв преход във водородния атом няма [0,5 т.].

Оригинал в Архива: NOF3_2010_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2010_10-12solutionsD1.pdf