Съдържание

НОФ 2010, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 4. Модел на ядро

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2010

Олимпиада по физика 2010, национален кръг, Плевен — тема за 10.–12. клас, първи ден · 1 май 2010 г. · 15 т.

Условие

Както е известно, ядрата на атомите са изградени от протони и неутрони (нуклони) с приблизително равни маси $m_\mathrm{N} = 1{,}67\cdot 10^{-27}\ \mathrm{kg}$ . Те взаимодействат помежду си чрез ядрени сили, които определят радиуса на ядрата $R$ в зависимост от масовото число $A$ като $R = r_0 (A)^{\frac{1}{3}}$ , $r_0 = 1{,}3\cdot 10^{-15}\ \mathrm{m}$ . Според слоестия модел нуклоните могат да се разглеждат като независими частици, които се намират в потенциална яма с формата на куб с ръб $a$ и дълбочина $U_0$ (когато частица е в ямата, нейната потенциална енергия е $U_0$ ). Те образуват слоеве от частици с една и съща енергия, които са запълнени аналогично на електронните слоеве в атомите. Електроните, протоните и неутроните са частици с един и същ спин.

физични константи:

скорост на светлината $c = 3{,}00\cdot 10^{8}\ \mathrm{m/s}$

електрична константа $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot 10^{-12}\ \mathrm{F/m}$

заряд на електрона $e = 1{,}60\cdot 10^{-19}\ \mathrm{C}$

маса на електрона $m = 9{,}11\cdot 10^{-31}\ \mathrm{kg}$

константа на Планк $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \mathrm{J.s}$ или $\hbar = \dfrac{h}{2\pi} = 1{,}05\cdot 10^{-34}\ \mathrm{J.s}$

земно ускорение $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$

а) Определете размера $a$ от изискването потенциалната яма с форма на куб да моделира сферично ядро със същия обем. [1 т.]

б) Като отчетете вълновите свойства на нуклоните, намерете възможните стойности на енергията на един нуклон за ядрото на кислород $^{16}_{\ 8}\mathrm{O}$ , изразени чрез $U_0, r_0, m_\mathrm{N}$ и константата на Планк $\hbar$ . В потенциалната яма с форма на куб всеки от двата вида нуклони извършва три независими движения – по $x$ , по $y$ и по $z$ , насочени перпендикулярно на стените на ямата. За всяко от независимите движения се формира стояща вълна на дьо Бройл. [6 т.]

в) Намерете енергията на ядрото $^{16}_{\ 8}\mathrm{O}$ , когато се намира в основно състояние, като приемете че $U_0 = -55\ \mathrm{MeV}$ . [6 т.]

г) Определете минималната честота на фотон, при чието поглъщане от ядро на кислород $^{16}_{\ 8}\mathrm{O}$ в основно състояние, ще се отдели нуклон. [2 т.]

Отговори

Решение

а) От изискването обемът на потенциалната яма с форма на куб да е равен на обема на ядрото получаваме

a = \left(\frac{4\pi}{3}R^3\right)^{1/3} \approx (4A)^{1/3} r_0.

(1 т.)

б) Енергията на един нуклон се определя с израза

\varepsilon = U_0 + \frac{p_x^2 + p_y^2 + p_z^2}{2m_\mathrm{N}}.

(1 т.)

Като отчетем за всяко независимо движение формулата на Дьо Бройл

p = \frac{2\pi\hbar}{\lambda}

(1 т.)

получавааме

\varepsilon = U_0 + \frac{4\pi^2\hbar^2}{2m_\mathrm{N}}\left(\frac{1}{\lambda_x^2} + \frac{1}{\lambda_y^2} + \frac{1}{\lambda_z^2}\right)

(1 т.)

Съгласно с вълновите свойства на частиците възможните стойности на $\lambda_x, \lambda_y, \lambda_z$ следват от формирането на стоящи вълни между всеки две стени на потенциалната яма

n_x\frac{\lambda_x}{2} = a,\quad n_x = 1, 2, 3, \ldots

(0,5 т.)

n_y\frac{\lambda_y}{2} = a,\quad n_y = 1, 2, 3, \ldots

(0,5 т.)

n_z\frac{\lambda_z}{2} = a,\quad n_z = 1, 2, 3, \ldots

(0,5 т.)

Тогава за възможните стойности на енергията на един нуклон получаваме

\varepsilon_{n_x,n_y,n_z} = U_0 + \frac{\pi^2\hbar^2}{2m_\mathrm{N}a^2}\left(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2\right) = U_0 + 0{,}31\frac{\hbar^2}{m_\mathrm{N}r_0^2}\left(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2\right).

(1,5 т.)

в) Съгласно с принципа на Паули в дадено състояние с определени $n_x, n_y, n_z$ могат да се намират най-много два протона с противоположни спинове и два неутрона с противоположни спинове. (1 т.) На енергетичното ниво $\varepsilon_{1,1,1}$ се намират два протона и два неутрона (1 т.), а на нивото $\varepsilon_{2,1,1} = \varepsilon_{1,2,1} = \varepsilon_{1,1,2}$ – шест протона и шест неутрона (1 т.), а останалите енергетични нива са празни. (1 т.) Енергията на основното състояние на ядрото на кислорода $^{16}_{\ 8}\mathrm{O}$ е равна на

E_0 = 16U_0 + 0{,}31(4\cdot 3 + 12\cdot 6)\frac{\hbar^2}{m_\mathrm{N}r_0^2} \approx -244\ \mathrm{MeV}

(2 т.)

г) Честотата на фотона е

\nu_{\min} = \frac{-\varepsilon_{2,1,1}}{2\pi\hbar} \approx 3\cdot 10^{21}\ \mathrm{Hz},

(2 т.)

т.е. фотонът е $\gamma$ -квант.

Оригинал в Архива: NOF3_2010_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2010_10-12solutionsD1.pdf