НОФ 2010, III кръг (национален), 8. клас — Задача 1. Метро

а) Средната скорост на движение на мотрисите между първата и последната спирка е $v_{\text{ср}} = 17875\ \mathrm{m}\,/\,22{,}5\ \mathrm{min} \approx 13{,}2\ \mathrm{m/s} \approx 47{,}7\ \mathrm{km/h}$. [0,5 т.]

б) Разстоянието между две станции е $L = 17875\ \mathrm{m}\,/\,13 = 1375\ \mathrm{m}$. [0,5 т.]

в) Времето на движение между две станции е $T_{\text{движ}} = \dfrac{22{,}5\ \mathrm{min} - 12\cdot 15\ \mathrm{s}}{13} = 90\ \mathrm{s}$. [1 т.]

г) Времето $T_{\text{уск}}$, за което мотрисата от покой достига максималната си скорост, може да се намери от закона за пътя: $L = \frac{1}{2}aT_{\text{уск}}^{2} + V_{\max}(T_{\text{движ}} - 2T_{\text{уск}}) + \frac{1}{2}aT_{\text{уск}}^{2}$ [0,5 т.]. От друга страна $a = V_{\max}/T_{\text{уск}}$ [0,5 т.]. Следователно $L = \frac{V_{\max}}{T_{\text{уск}}}T_{\text{уск}}^{2} + V_{\max}(T_{\text{движ}} - 2T_{\text{уск}}) = L = V_{\max}(T_{\text{движ}} - T_{\text{уск}})$ [0,5 т.]. $T_{\text{уск}} = T_{\text{движ}} - \frac{L}{V_{\max}} = 90\ \mathrm{s} - \frac{1375\ \mathrm{m}}{90\ \mathrm{km/h}} = 90\ \mathrm{s} - 55\ \mathrm{s} = 35\ \mathrm{s}$. [0,5 т.]

д) Ускорението $a = V_{\max}/T_{\text{уск}} = \dfrac{25\ \mathrm{m/s}}{35\ \mathrm{s}} = 0{,}71\ \mathrm{m/s^2}$. [0,5 т.]

е) Спирачния път на мотрисата е $L_{\text{спир}} = \frac{1}{2}aT_{\text{уск}}^{2} = \dfrac{V_{\max}\cdot T_{\text{уск}}}{2} = \dfrac{25\ \mathrm{m/s}\cdot 35\ \mathrm{s}}{2} = 437{,}5\ \mathrm{m}$. [0,5 т.]

ж) Кинетичната енергия на мотрисата, когато се движи с максималната си скорост, е $E_{\text{кин}} = \dfrac{mV_{\max}^{2}}{2} = \dfrac{47000\ \mathrm{kg}\cdot(25\ \mathrm{m/s})^{2}}{2} \approx 1{,}47\cdot 10^{7}\ \mathrm{J} = 14{,}7\ \mathrm{MJ}$. [0,5 т.]

з) Средната мощност, която трябва да има всеки електродвигател на мотрисата, за да осигури нейното ускорително движение, е $P = \frac{1}{4}\dfrac{A}{T_{\text{уск}}} = \frac{1}{4}\dfrac{E_{\text{кин}}}{T_{\text{уск}}}$ [0,5 т.] $= \frac{1}{4}\dfrac{14{,}7\ \mathrm{MJ}}{35\ \mathrm{s}} \approx 1{,}05\cdot 10^{5}\ \mathrm{W} = 105\ \mathrm{kW}$. [0,5 т.]

и) Средният ток, който консумира всеки електродвигател на мотрисата по време на нейното ускорително движение, е $I = P/U = 105\ \mathrm{kW}\,/\,825\ \mathrm{V} \approx 127\ \mathrm{A}$. [0,5 т.]

к) Тъй като всяка мотриса се движи в една посока 22,5 min, при почивка на всяка крайна станция за време 7,5 min, мотрисата започва следващия си курс от същата начална станция точно след 60 min [0,5 т.]. При движение през интервал от 5 min са нужни $60\ \mathrm{min}\,/\,5\ \mathrm{min} = 12$ мотриси. [0,5 т.]

л) В момента, когато една мотриса (да я наречем М1) тръгва от начална (да я наречем С1) станция, мотриса М2 точно в този момент спира на станция С4, М3 се движи равнозакъснително и ѝ остават 15 s за да спре на С7, М4 се движи равнозакъснително и ѝ остават 30 s за да спре на С10, М5 се движи равномерно и ѝ остават 45 s за да спре на С13, а М6 почива вече 2,5 min на другата крайна станция. Останалите 6 мотриси се движат по същия начин, но в обратна посока. [1,5 т.]

м) Внимателното проследяване на една от мотрисите (например М1) показва, че на нито една станция тя няма да е в покой заедно с друга мотриса. Това, разбира се, ще важи и за всички останали мотриси. [0,5 т.]