Съдържание

НОФ 2010, III кръг (национален), 8. клас — Задача 2. Балони с хелий

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2010

Олимпиада по физика 2010, Национален кръг, Плевен — Тема за 8 клас · 1 май 2010 г. · 10 т.

Условие

Балони от здрава неразтеглива гумирана материя с форма на кълбо и с различни радиуси се пълнят с хелий. Плътността на хелия вътре в балоните е $\rho_{\mathrm{He}} = 0{,}1664\ \mathrm{kg/m^3}$ , плътността на въздуха е $\rho_{\mathrm{air}} = 1{,}205\ \mathrm{kg/m^3}$ . Гумираната материя има дебелина $d = 1\ \mathrm{mm}$ и плътност $\rho_{\text{гум}} = 1039\ \mathrm{kg/m^3}$ .

а) Какъв трябва да е радиусът $R_{\min}$ на балона за да бъде в равновесие, когато е оставен във въздуха. Намерете формула за $R_{\min}$ [2 т.] и го изчислете [0,5 т.].

б) Изчислете масата $m_0$ на гумираната материя на балона с радиус $R_{\min}$ . [1 т.]

в) Какво ще се случва с балоните с радиуси, по-големи от $R_{\min}$ и тези с радиуси, по-малки от $R_{\min}$ , когато се оставят във въздуха. [0,5 т.]

г) Нека на балон с радиус $R$ като се окачи допълнителна тежест с маса $m$ , да е в равновесие. Намерете формула за зависимостта на масата $m$ от радиуса $R$ [1,5 т.]. Приведете тази формула във вид, в който фигурират отношенията $R/R_{\min}$ и $m/m_0$ [1 т.]. Изчислете отношението $m/m_0$ , ако отношението $R/R_{\min}$ е съответно равно на 2, 3, 4 и 5 [1 т.]. (Архимедовата сила, действаща на допълнителната тежест, се пренебрегва)

д) Нека балон с радиус $N\cdot R_{\min}$ ( $N > 1$ ) и без допълнителна тежест е изпуснат във въздуха. Известно е, че плътността на въздуха зависи от височината $h$ по начин, представен на фигурата. Приемете, че обемът на балона е постоянен без значение на каква височина се намира. Намерете на каква височина $h_0$ ще се издигне балонът, ако $N = 2$ ? Първо намерете формула за плътността $\rho_{\mathrm{air}}(h)$ на въздуха на тази височина и след това използвайте графиката. [2,5 т.]

Оригиналната графика на плътността на въздуха спрямо височината.

Решение

а) В равновесие силите, действащи на балона, се уравновесяват. Силите са две – сила на тежестта и Архимедова сила. Следователно $\rho_{\mathrm{He}}\frac{4}{3}\pi R_{\min}^{3}g + \rho_{\text{гум}}4\pi R_{\min}^{2}dg = \rho_{\mathrm{air}}\frac{4}{3}\pi R_{\min}^{3}g$ [1 т.]. След преобразуване и съкращаване се получава $R_{\min} = \dfrac{3\rho_{\text{гум}}d}{\rho_{\mathrm{air}} - \rho_{\mathrm{He}}}$ [1 т.]. След заместване с дадените стойности $R_{\min} = \dfrac{3\cdot 1039\ \mathrm{kg/m^3}\cdot 1\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m}}{1{,}205\ \mathrm{kg/m^3} - 0{,}1664\ \mathrm{kg/m^3}} = 3{,}00\ \mathrm{m}$ . [0,5 т.]

б) Масата $m_0$ на гумираната материя на балона с радиус $R_{\min}$ е $m_0 = \rho_{\text{гум}}4\pi R_{\min}^{2}d$ [0,5 т.] $= 1039\ \mathrm{kg/m^3}\cdot 4\pi\cdot 3^{2}\ \mathrm{m^2}\cdot 1\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m} \approx 118\ \mathrm{kg}$ . [0,5 т.]

в) Тъй като сумата на двете сили ще е равна на

F = \rho_{\mathrm{He}}\frac{4}{3}\pi R_{\min}^{3}g + \rho_{\text{гум}}4\pi R_{\min}^{2}dg - \rho_{\mathrm{air}}\frac{4}{3}\pi R_{\min}^{3}g = \frac{4}{3}\pi R^{2}g\left[-\left(\rho_{\mathrm{air}} - \rho_{\mathrm{He}}\right)R + 3\rho_{\text{гум}}d\right] = \frac{4}{3}\pi R^{2}g\left(\rho_{\mathrm{air}} - \rho_{\mathrm{He}}\right)R\left[\frac{3\rho_{\text{гум}}d}{\left(\rho_{\mathrm{air}} - \rho_{\mathrm{He}}\right)R} - 1\right],

при $R < R_{\min}$ , силата ще е насочена надолу и балонът ще пада, а при $R < R_{\min}$ ще се издига [0,5 т.].

г) Нека когато на балон с радиус $R$ като се окачи допълнителна тежест с маса $m$ , той да е в равновесие. Следователно $mg + \rho_{\mathrm{He}}\frac{4}{3}\pi R_{\min}^{3}g + \rho_{\text{гум}}4\pi R_{\min}^{2}dg = \rho_{\mathrm{air}}\frac{4}{3}\pi R_{\min}^{3}g$ [0,5 т.]. След преобразуване

m = -\rho_{\mathrm{He}}\frac{4}{3}\pi R^{3} - \rho_{\text{гум}}4\pi R^{2}d + \rho_{\mathrm{air}}\frac{4}{3}\pi R^{3} = 4\pi R^{2}\left[\frac{\left(\rho_{\mathrm{air}} - \rho_{\mathrm{He}}\right)R}{3} - \rho_{\text{гум}}d\right] =

[1 т.]

= 4\pi R^{2}\rho_{\text{гум}}d\left[\frac{\left(\rho_{\mathrm{air}} - \rho_{\mathrm{He}}\right)R}{3\rho_{\text{гум}}d} - 1\right] = 4\pi R^{2}\rho_{\text{гум}}d\frac{R_{\min}^{2}}{R_{\min}^{2}}\left[\frac{\left(\rho_{\mathrm{air}} - \rho_{\mathrm{He}}\right)R}{3\rho_{\text{гум}}d} - 1\right] = m_0\frac{R^{2}}{R_{\min}^{2}}\left[\frac{R}{R_{\min}} - 1\right]

[1 т.].
От последната формула лесно се смята, че за отношение $R/R_{\min}$ , съответно равно на 2, 3, 4 и 5, отношението $m/m_0$ съответно е равно на 4, 18, 48 и 100. [1 т.]

д) Изпуснатият балон с радиус $NR_{\min}$ и без допълнителна тежест ще достигне такава височина, че там действащите му сили да се уравновесяват. Нека с $\rho_{\mathrm{air}}(h)$ бележим плътността на въздуха на височина $h$ . Тогава $\rho_{\mathrm{He}}\frac{4}{3}\pi N^{3}R_{\min}^{3}g + \rho_{\text{гум}}4\pi N^{2}R_{\min}^{2}dg = \rho_{\mathrm{air}}(h)\frac{4}{3}\pi N^{3}R_{\min}^{3}g$ . След съкращения и заместване на $R_{\min}$ с резултата от подусловие а), $\rho_{\mathrm{air}}(h) = \dfrac{\rho_{\mathrm{air}} + (N-1)\rho_{\mathrm{He}}}{N}$ [1 т.]. Замествайки с дадените стойности $\rho_{\mathrm{air}}(h) = \dfrac{1{,}205\ \mathrm{kg/m^3} + (2-1)\cdot 0{,}1664\ \mathrm{kg/m^3}}{2} \approx 0{,}686\ \mathrm{kg/m^3}$ [0,5 т.]. Използвайки дадената графика, определяме, че $h_0 \approx 4{,}8\ \mathrm{km}$ . [1 т.]

Полезна математика:

Площ на сфера с радиус $r$ : $S = 4\pi r^{2}$
Обем на кълбо с радиус $r$ : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}$
Обем на тънък сфиричен слой с радиус $r$ и дебелина $d$ ( $d \ll r$ ): $V = 4\pi r^{2}d$
Обем на цилиндър с радиус $r$ и височина $h$ : $V = \pi r^{2}h$

Оригинал в Архива: NOF3_2010_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2010_8solutions.pdf