Съдържание

НОФ 2010, III кръг (национален), 8. клас — Задача 3. Нагрети топчета върху лед

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2010

Олимпиада по физика 2010, Национален кръг, Плевен — Тема за 8 клас · 1 май 2010 г. · 10 т.

Условие

Железни топчета с различни радиуси $r$ , намиращи се в съд с кипяща вода, се изваждат от съда и веднага се поставят върху хоризонталната повърхност на масивен къс лед с температура $0\ {}^\circ\mathrm{C}$ . Поради факта, че топчетата разтапят леда под тях, те започват да потъват в леда. Плътността на желязото е $\rho_{\mathrm{Fe}} = 7{,}9\cdot 10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$ , плътността на леда е $\rho_{\mathrm{ice}} = 0{,}9\cdot 10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}$ , специфичния топлинен капацитет на желязото е $c_{\mathrm{Fe}} = 475\ \mathrm{J/kg.K}$ , а специфичната топлина на топене на леда е $\lambda = 3{,}34\cdot 10^{5}\ \mathrm{J/kg}$ . Приемете, че цялата топлина, отделена от едно топче, отива само за разтапяне на леда точно под него.

а) Намерете цялото количество топлина $Q_{\mathrm{Fe}}$ , която едно топче може да отдели. [2 т.]

б) Ако приемете, че топчето разтапя лед с форма на цилиндър с радиус $r$ (равен на радиуса на топчето) и височина $h$ плюс половин кълбо с радиус $r$ , намерете формула за височината $h$ . [3 т.]

в) На каква дълбочина $H$ топчето ще се премести надолу в леда? [1 т.] Как тя зависи от радиуса на топчето? [1 т.]

г) Изчислете дълбочината $H$ за топче с радиус $r = 1\ \mathrm{cm}$ . [3 т.]

Потенциалната енергия на топчето се пренебрегва.

Решение

а) Цялото количество топлина $Q_{\mathrm{Fe}}$ , която едно топче може да отдели, е $Q_{\mathrm{Fe}} = c_{\mathrm{Fe}}\rho_{\mathrm{Fe}}\frac{4}{3}\pi r^{3}\left(100\ {}^\circ\mathrm{C} - 0\ {}^\circ\mathrm{C}\right)$ . [2 т.]

б) $Q_{\mathrm{Fe}} = \lambda\rho_{\mathrm{ice}}\left(\pi r^{2}h + \frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}\right)$ [1 т.]. Използвайки горното уравнение, $h = \dfrac{4c_{\mathrm{Fe}}\rho_{\mathrm{Fe}}\,100\ {}^\circ\mathrm{C}\,r}{3\lambda\rho_{\mathrm{ice}}} - \frac{2}{3}r$ . [2 т.]

в) Дълбочината $H$ , на която топчето ще се премести надолу в леда, е $H = h + r$ [0,5 т.] $= \dfrac{4c_{\mathrm{Fe}}\rho_{\mathrm{Fe}}\,100\ {}^\circ\mathrm{C}\,r}{3\lambda\rho_{\mathrm{ice}}} + \frac{1}{3}r = \left(\dfrac{4c_{\mathrm{Fe}}\rho_{\mathrm{Fe}}\,100\ {}^\circ\mathrm{C}}{\lambda\rho_{\mathrm{ice}}} + 1\right)\dfrac{r}{3}$ [0,5 т.]. Височината $H$ е пропорционална на радиуса $r$ . [1 т.]

г) Замествайки с дадените стойности

H = \left(\frac{4\cdot 475\ \mathrm{J/(kg.K)}\cdot 7{,}9\cdot 10^{3}\ \mathrm{kg/m^3}\cdot 100\ {}^\circ\mathrm{C}}{3{,}34\cdot 10^{5}\ \mathrm{J/kg}\cdot 0{,}9\cdot 10^{3}\ \mathrm{kg/m}} + 1\right)\frac{1\cdot 10^{-2}\ \mathrm{m}}{3} \approx 0{,}020\ \mathrm{m} = 2{,}0\ \mathrm{cm}

[3 т.]

Полезна математика:

Площ на сфера с радиус $r$ : $S = 4\pi r^{2}$
Обем на кълбо с радиус $r$ : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}$
Обем на тънък сфиричен слой с радиус $r$ и дебелина $d$ ( $d \ll r$ ): $V = 4\pi r^{2}d$
Обем на цилиндър с радиус $r$ и височина $h$ : $V = \pi r^{2}h$

Оригинал в Архива: NOF3_2010_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2010_8solutions.pdf