Съдържание

НОФ 2011, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2011

Олимпиада по физика 2011, областен кръг, тема за X – XII клас · 19 март 2011 г. · 10 т.

Условие

Полезна формула: Площта на сфера с радиус $R$ е $S = 4\pi R^{2}$ .

Основни константи:

Константа на Стефан-Болцман,	$\sigma = 5{,}67\cdot 10^{-8}\ \dfrac{\mathrm{W}}{\mathrm{m^{2}K^{4}}}$ ;
Константа на Вин,	$b = 2{,}90\cdot 10^{-3}\ \mathrm{m\cdot K}$ ;
Разстояние от Земята до Слънцето,	$r = 1{,}5.10^{11}$ m;
Радиус на Слънцето,	$R = 7{,}0.10^{8}$ m.

а) Установено е, че максимумът в спектъра на излъчване на Слънцето е при дължина на вълната $\lambda$ = 500 nm. Ако приемете, че Слънцето излъчва като абсолютно черно тяло, пресметнете температурата $T$ върху повърхността на Слънцето. [2 т.]

б) Колко вата е мощността $P$ на излъчване на Слънцето, т.е. енергията, която Слънцето излъчва за единица време. [2 т.]

в) Комуникационен спътник обикаля около Земята. Той се захранва с електричество от светлинен панел с площ $S$ = 10 m $^2$ , който през цялото време е ориентиран перпендикулярно на слънчевите лъчи. В електроенергия се преобразуват $\eta$ = 20% от попадналата върху панела светлинна енергия. Намерете максималната мощност $P_{\max}$ на електроуредите, които могат да се захранват от панела. Приемете, че спътникът не преминава през сянката на Земята. [3,5 т.]

г) Ако приемете, че Земята поглъща изцяло попадналото върху нея слънчево лъчение, пресметнете средната температура $T_3$ на Земята. Приемете, че температурата е еднаква по цялата земна повърхност. [2,5 т.]

Отговори

Решение

а) От закона на Вин:

\lambda T = b \qquad \textbf{[1 т]}

намираме температурата на повърхността на Слънцето:

T = \frac{b}{\lambda} = 5800\ \mathrm{K}, \qquad \textbf{[1 т]}

б) От закона на Стефан-Болцман следва, че мощността на излъчване на Слънцето е:

P = \sigma T^{4}\cdot 4\pi R^{2}, \qquad \textbf{[1 т]}

Заместваме величините с числените им стойности и намираме:

P = 5{,}67\cdot 10^{-8}\ \mathrm{W/(m^{2}K^{4})}\cdot (5800\ \mathrm{K})^{4}\cdot 4\cdot 3{,}14\cdot (7\cdot 10^{8}\,\mathrm{m})^{2} = 4{,}0\cdot 10^{26}\ \mathrm{W} \qquad \textbf{[1 т]}

в) Слънцето излъчва равномерно във всички посоки, затова интензитетът на светлината, достигаща Земята (т,е, енергията, минаваща за единица време приз единица площ), е:

I = \frac{P}{4\pi r^{2}} = 1400\ \mathrm{W/m^{2}}, \qquad \textbf{[1 т]}

Енергията, попадаща върху панела за единица време, е:

P_0 = IS, \qquad \textbf{[1 т]}

а преобразуваната в електрична енергия:

P_{\max} = \eta IS, \qquad \textbf{[1 т]}

или

P_{\max} = 0{,}2\cdot 1400\ \mathrm{W/m^{2}}\cdot 10\ \mathrm{m^{2}} = 2800\ \mathrm{W} \qquad \textbf{[0,5 т]}

г) За единица време Земята поглъща енергията на лъчите, минаващи през кръговото й напречно сечение:

P_{\text{погл}} = I\cdot \pi R_3^{2}, \qquad \textbf{[0,5 т]}

а излъчва през цялата си околна повърхност:

P_{\text{изл}} = \sigma T_3^{4}\cdot 4\pi R_3^{2}, \qquad \textbf{[0,5 т]}

където $R_3$ е радиусът на Земята, а $T_3$ – нейната абсолютна температура, Условието за постоянна температура е:

I\cdot \pi R_3^{2} = \sigma T_3^{4}\cdot 4\pi R_3^{2}, \qquad \textbf{[0,5 т]}

откъдето намираме:

T_3 = \sqrt[4]{\frac{I}{4\sigma}} \qquad \textbf{[0,5 т]}

или

T_3 = \sqrt[4]{\frac{1400\ \mathrm{W/m^{2}}}{4\cdot 5{,}67\cdot 10^{-8}\ \mathrm{W/(m^{2}K^{4})}}} = 280\ \mathrm{K}\ (7\ ^{\circ}\mathrm{C}) \qquad \textbf{[0,5 т]}

Оригинал в Архива: NOF2_2011_10-12problems.pdf · официални решения: NOF2_2011_10-12solutions.pdf