Съдържание

Условие Част 1. (7 т.)Част 2. (8 т.)Отговори Решение

НОФ 2011, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 2. Нелинейно съпротивление

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2011

Олимпиада по физика 2011, Национален кръг, Кърджали, 30 април 2011 г. — тема за 10.–12. клас · 30 април 2011 г. · 15 т.

Условие

Част 1. (7 т.)

Електрична верига се състои от батерия с електродвижещо напрежение $E$ =12,0 V и с пренебрежимо вътрешно съпротивление, и два резистора, включени последователно. Единият има съпротивление $R_0$ , а другият не се подчинява на закона на Ом. Волтамперната характеристика на втория резистор е дадена на фигурата по-долу.

Графика върху милиметрова хартия: токът расте от 0 до около 0,35 A при напрежение от 0 до 12 V, с намаляващ наклон.

а) Каква трябва да бъде стойността на $R_0$ , за да тече във веригата ток $I_0 = 0{,}25$ A. [3 т.]

б) Каква ще бъде стойността на тока $I_2$ във веригата, ако $R_0 = 60\ \Omega$ . Колко е напрежението $U_2$ върху втория (нелинейния) резистор? [4 т.]

Волтамперна характеристика на нелинейния резистор: I–V графика (същата крива като на стр.1, обърната на 90°), ток до 0.35 A при напрежение до 12 V.

Част 2. (8 т.)

На друг резистор електричното съпротивление зависи от температурата му така: $R(t) = R_0(1 + \alpha t)$ , където $R_0 = 100\,\Omega$ , $\alpha = \dfrac{1}{300}\ \mathrm{K^{-1}}$ , а $t$ се мери в $^{\mathrm{o}}$ C. Разсеяното количество топлина в околната среда за единица време от резистора, е пропорционално на разликата в температурите на резистора и околната среда, т.е. $\dfrac{\Delta Q}{\Delta \tau} = \beta(t - t_0)$ , където $\beta = 2{,}00.10^{-2}\ \mathrm{W/K}$ , а температурата на околната среда е $t_0 = 20{,}0\ {}^{\mathrm{o}}$ C. На резистора се подава постоянно напрежение $E$ = 12,0 V.

а) Намерете формула и изчислете каква температура $t$ ще има съпротивлението след достатъчно дълго време. [4 т.]

б) Ако ни интересува как зависи съпротивлението на резистора от приложеното му напрежение и една приближена формула при малки напрежения е $R(U) = \mathrm{A} + \mathrm{B}U^2$ , изчислете стойностите на коефициентите $A$ и $B$ .

полезна математика: $(1+\mathrm{x})^{\mathrm{n}} \approx 1 + \mathrm{nx}$ , ако $\mathrm{x} \ll 1$ . [4 т.]

Отговори

Решение

Част 1.

а) При ток $I_0 = 0{,}25$ A във веригата, от дадената графика се получава, че напрежението върху второто съпротивление е $U_2 = 5{,}0$ V. От закона на Ом: $E = I_0R_0 + U_0$ се получава: $R_0 = \dfrac{E - U_0}{I_0} = \dfrac{12{,}0\ \mathrm{V} - 5{,}0\ \mathrm{V}}{0{,}25\ \mathrm{A}} = 28\ \Omega$ . [3 т.]

б) От закона на Ом следва: $E = I_2R_0 + U_2(I_2)$ (с $U_2(I_2)$ бележим напрежението върху втория резистор). Следователно $U_2(I_2) = E - I_2R_0$ . Това е уравнение на права, която при $R_0 = 60\ \Omega$ пресича осите на волтамперната характеристика в точките (12 V, 0 A) и (0 V, 0,2 A). Пресечната точка на тази права с волтамперната характеристика има координати (2,4 V, 0,16 A). Следователно токът във веригата е $I_2 = 0{,}16$ A, а напрежението върху втория (нелинейния) резистор е $U_2 = 2{,}4$ V. [4 т.]

Същата графика с наложена права от (0 V; 0,2 A) до (12 V; 0 A), пресичаща кривата при около 2,4 V и 0,16 A.

Част 2.

а) При установено термодинамично равновесие, отделеното количество топлина в резистора за единица време ще е равно на разсеяното такова: $\dfrac{E^2}{R_0(1+\alpha t)} = \beta(t - t_0)$ , откъдето се получава квадратно уравнение за температурата $t$ : $\alpha t^2 + (1 - \alpha t_0)t - \left(\dfrac{E^2}{\beta R_0} + t_0\right) = 0$ . Само по-голямото от двете решения има физичен смисъл:

t = \frac{-(1-\alpha t_0) + \sqrt{(1-\alpha t_0)^2 + 4\alpha\left(\dfrac{E^2}{\beta R_0} + t_0\right)}}{2\alpha}

След заместване с дадените стойности $t = 77{,}3\ {}^{\mathrm{o}}$ C. [4 т.]

б) от условието на задачата: $\dfrac{U^2}{R(U)} = \beta(t - t_0)$ , а $R(U) = R_0(1 + \alpha t)$ . Изразявайки температурата $t$ от второто уравнение и замествайки я в първото, получаваме: $\dfrac{U^2}{R(U)} = \beta\left[\dfrac{R(U) - R_0}{R_0\alpha} - t_0\right]$ . След опростяване се получава следното квадратно уравнение за $R(U)$ : $R(U)^2 - R_0(1 + \alpha t_0)R(U) - \dfrac{U^2R_0\alpha}{\beta} = 0$ . Само положителното му решение има физически смисъл:

R(U) = \frac{R_0(1+\alpha t_0) + \sqrt{R_0^{\,2}(1+\alpha t_0)^2 + \dfrac{4U^2R_0\alpha}{\beta}}}{2}

При достатъчно малки напрежения второто събираемо под радикала ще стане много по-малко от първото събираемо и може да се използва приближена формула:

R(U) = \frac{1}{2}R_0(1+\alpha t_0)\left[1 + \sqrt{1 + \frac{4U^2R_0\alpha}{\beta R_0^{\,2}(1+\alpha t_0)^2}}\right] \approx \frac{1}{2}R_0(1+\alpha t_0)\left[1 + \left(1 + \frac{2U^2R_0\alpha}{\beta R_0^{\,2}(1+\alpha t_0)^2}\right)\right] =

= R_0(1+\alpha t_0)\left[1 + \frac{\alpha U^2}{\beta R_0(1+\alpha t_0)^2}\right] = R_0(1+\alpha t_0) + \frac{\alpha}{\beta(1+\alpha t_0)}U^2

След заместване с дадените стойности: $R(U) = 106{,}7\,\Omega + 0{,}1563\dfrac{\Omega}{\mathrm{V}^2}U^2$ . Следователно $A = 106{,}7\ \Omega$ и $B = 0{,}1563\ \Omega/\mathrm{V}^2$ . [4 т.]

Оригинал в Архива: NOF3_2011_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2011_10-12solutionsD1.pdf