НОФ 2012, III кръг (национален), 10–12 клас — Задача 2. Въртящ се зареден цилиндър

Олимпиада по физика 2012, Национален кръг, Хасково — тема за 10.–12. клас, първи етап · 21 април 2012 г. · 15 т.

Условие

На фиг.1 е показан дълъг кух тънкостенен цилиндър от диелектрик с радиус $R$, дължина $L$ ($L \gg R$) и маса $M$. Върху околната повърхност на цилиндъра е разпределен равномерно електричен заряд $Q$. По средата на цилиндъра е навита лека неразтеглива нишка, към свободния край на която е закачена теглилка с маса $m$. В началния момент системата е в покой. Освобождават теглилката и тя започва да се спуска надолу и да върти цилиндъра. Цилиндърът се върти без триене около геометричната си ос, която е разположена хоризонтално. Нишката не се хлъзга по повърхността на цилиндъра. Съпротивлението на въздуха не се отчита. Земното ускорение е $g$.

Да означим с $v$ скоростта на теглилката в момент, когато тя е изминала път $s$.

Полезни формули и информация:

1. Когато по дълга цилиндрична намотка (соленоид) тече ток $I$, той създава магнитно поле. Вътре в соленоида полето е приблизително еднородно и неговата индукция е $B = \dfrac{\mu_0 N I}{L} = \mu_0 i$, където $\mu_0$ е магнитната константа, $N$ – броят на навивките, $L$ – дължината на соленоида, а $i = \dfrac{NI}{L}$ е токът на единица дължина от соленоида. Извън соленоида полето се приема за равно на нула.
2. Плътността на енергията $w_B$ на магнитното поле (магнитната енергия в единица обем от полето) се изразява с формулата $w_B = \dfrac{B^2}{2\mu_0}$.

(В оригинала разделът „Полезни формули и информация“ е отпечатан след подусловия а)–г).)

а) Изразете кинетичната енергия на теглилката и на цилиндъра като функция на скоростта $v$. [2 т.]

б) Изразете индукцията $B$ на магнитното поле в цилиндъра като функция на скоростта $v$. [4 т.]

в) Покажете, че енергията $W_B$ на магнитното поле в цилиндъра е правопропорционална на квадрата на скоростта: $W_B = \dfrac{1}{2}kv^2$. [2 т.] Определете константата $k$. [4 т.]

г) Определете ускорението $a$ на теглилката. [5 т.]

Отговори

Решение

Оригинал в Архива: NOF3_2012_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2012_10-12solutionsD1.pdf