Съдържание

НОФ 2012, III кръг (национален), 10–12 клас, първи ден — Задача 2. Въртящ се зареден цилиндър

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2012

Олимпиада по физика 2012, Национален кръг, Хасково — тема за 10.–12. клас, първи етап · 21 април 2012 г. · 15 т.

Условие

На фиг.1 е показан дълъг кух тънкостенен цилиндър от диелектрик с радиус $R$ , дължина $L$ ( $L \gg R$ ) и маса $M$ . Върху околната повърхност на цилиндъра е разпределен равномерно електричен заряд $Q$ . По средата на цилиндъра е навита лека неразтеглива нишка, към свободния край на която е закачена теглилка с маса $m$ . В началния момент системата е в покой. Освобождават теглилката и тя започва да се спуска надолу и да върти цилиндъра. Цилиндърът се върти без триене около геометричната си ос, която е разположена хоризонтално. Нишката не се хлъзга по повърхността на цилиндъра. Съпротивлението на въздуха не се отчита. Земното ускорение е $g$ .

Хоризонтален цилиндър, въртящ се около оста си; по средата му е навита нишка, на чийто край виси малка теглилка m; означени са L, R, M, g. — Фиг. 1. Хоризонтален кух тънкостенен цилиндър с дължина $L$ , радиус $R$ и маса $M$ ; нишка, навита по средата, носи теглилка с маса $m$ .

Да означим с $v$ скоростта на теглилката в момент, когато тя е изминала път $s$ .

Полезни формули и информация:

Когато по дълга цилиндрична намотка (соленоид) тече ток $I$ , той създава магнитно поле. Вътре в соленоида полето е приблизително еднородно и неговата индукция е $B = \dfrac{\mu_0 N I}{L} = \mu_0 i$ , където $\mu_0$ е магнитната константа, $N$ – броят на навивките, $L$ – дължината на соленоида, а $i = \dfrac{NI}{L}$ е токът на единица дължина от соленоида. Извън соленоида полето се приема за равно на нула.
Плътността на енергията $w_B$ на магнитното поле (магнитната енергия в единица обем от полето) се изразява с формулата $w_B = \dfrac{B^2}{2\mu_0}$ .

(В оригинала разделът „Полезни формули и информация“ е отпечатан след подусловия а)–г).)

а) Изразете кинетичната енергия на теглилката и на цилиндъра като функция на скоростта $v$ . [2 т.]

б) Изразете индукцията $B$ на магнитното поле в цилиндъра като функция на скоростта $v$ . [4 т.]

в) Покажете, че енергията $W_B$ на магнитното поле в цилиндъра е правопропорционална на квадрата на скоростта: $W_B = \dfrac{1}{2}kv^2$ . [2 т.] Определете константата $k$ . [4 т.]

г) Определете ускорението $a$ на теглилката. [5 т.]

Отговори

Решение

а) Кинетичната енергия на теглилката е $mv^2/2$ . [1 точка]

Скоростта на всички точки от повърхността на цилиндъра е равна на скоростта $v$ на теглилката. (Нишката е в покой спрямо повърхността – не се хлъзга по нея.) Тъй като цилиндърът е тънкостенен, всички точки от него практически се намират на повърхността и се движат със скорост $v$ .

Следователно кинетичната енергия на цилиндъра е $\dfrac{Mv^2}{2}$ . [1 точка]

Кинетичната енергия на системата е $W_k = \dfrac{(M+m)v^2}{2}$ .

б) При въртенето на цилиндъра електричните заряди се движат със скорост $v$ и описват окръжности, т.е. по повърхността на цилиндъра тече електричен ток, подобен на тока, който тече по цилиндрична намотка (соленоид). Да разгледаме мислена неподвижна линия, която преминава през повърхността на цилиндъра и е успоредна на оста му. За малък интервал от време $\Delta t$ през тази линия (сечение на проводника, по който тече ток) преминава електричен заряд $\Delta q = \left(\dfrac{Q}{2\pi R L}\right) L v \Delta t$ , където изразът в скобите е зарядът на единица площ от повърхността на цилиндъра. Електричният ток е

I = \frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{Q}{2\pi R}\,v \qquad \textbf{[2 точки]}

Токът на единица дължина на цилиндъра е

i = \frac{I}{L} = \frac{Q}{2\pi R L}\,v \qquad \textbf{[1 точка]}

Магнитното поле на тока е

B = \mu_0 i = \frac{\mu_0 Q}{2\pi R L}\,v \qquad \textbf{[1 точка]}

в) Вариант 1 (от общи съображения). От 9. клас знаем, че енергията на магнитното поле на ток, който тече по проводник, е пропорционална на квадрата на тока: $W_B = \dfrac{LI^2}{2}$ , където $L$ в случая е индуктивността на проводника. Токът, от друга страна, е пропорционален на скоростта $v$ на насочено движение на електричните заряди.

Следователно $W_B = \dfrac{kv^2}{2}$ . [2 точки]

Вариант 2 (пълно решение). Плътността на енергията на магнитното поле е

w_B = \frac{B^2}{2\mu_0} = \frac{\mu_0 Q^2}{8\pi^2 R^2 L^2}\,v^2 \qquad \textbf{[1 точка]}

Енергията на магнитното поле е

W_B = w_B(\pi R^2 L) = \frac{1}{2}\left(\frac{\mu_0 Q^2}{4\pi L}\right)v^2 \qquad \textbf{[2 точки]}

Следователно $W_B = \dfrac{1}{2}kv^2$ , където $k = \dfrac{\mu_0 Q^2}{4\pi L}$ . [1 точка]

г) Да приемем, че в началното положение, когато системата е в покой, гравитационната потенциална енергия на теглилката е нула. Когато теглилката измине път $s$ , нейната потенциална енергия е

W_g = -mgs \qquad \textbf{[1 точка]}

От закона за запазване на енергията следва равенството

W_k + W_B + W_g = 0 \quad\text{или}\quad \frac{(M+m)v^2}{2} + \frac{1}{2}kv^2 - mgs = 0 \qquad \textbf{[1 точка]}

Записваме горното равенство във вида $s = \dfrac{1}{2}\dfrac{(M+m+k)}{mg}v^2$ . От друга страна, при равноускорително движение без начална скорост е в сила равенството $s = \dfrac{v^2}{2a}$ .

Като сравним двете равенства, стигаме до извода, че теглилката се движи равноускорително. [1 точка]

Нейното ускорение е $a = \dfrac{mg}{M+m+k}$ ; [1 точка]

a = \frac{mg}{M+m+\dfrac{\mu_0 Q^2}{4\pi L}} \qquad \textbf{[1 точка]}

Забележка. Задачата има и друго решение, което дава възможност за по-задълбочено вникване във физиката на процесите – каква е природата на силата, която забавя въртенето на цилиндъра.

Магнитното поле в цилиндъра е променливо. Съгласно закона на Фарадей, то индуцира вихрово електрично поле. От симетрията следва, че силовите линии на вихровото електрично поле са концентрични окръжности, с център върху оста на диска. От закона на Фарадей $E(2\pi R) = -\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t} = -(\pi R^2)\dfrac{\Delta B}{\Delta t}$ определяме интензитета на вихровото поле $E = -\dfrac{\mu_0 Q}{4\pi L}\dfrac{\Delta v}{\Delta t} = -\dfrac{\mu_0 Q}{4\pi L}a$ . На заредения цилиндър вихровото електрично поле действа с електрична сила $F = QE$ . Тази сила създава въртящ момент $M = FR = QER$ , който съгласно правилото на Ленц препятства въртенето на диска. Уравнението на моментите за въртенето на диска е $RT + M = \varepsilon I$ . Ъгловото ускорение е $\varepsilon = \dfrac{a}{R}$ , инерчният момент на тънкостенния цилиндър е $I = MR^2$ . Силата на опъване на нишката $T$ изразяваме от уравнението за постъпателното движение на теглилката $mg - T = ma$ . След заместване на всички величини в уравнението на моментите получаваме

m(g-a)R - \frac{\mu_0 Q^2}{4\pi L}aR = \frac{a}{R}MR^2,

откъдето определяме ускорението $a = \dfrac{mg}{M+m+\dfrac{\mu_0 Q^2}{4\pi L}}$ .

Оригинал в Архива: NOF3_2012_10-12problemsD1.pdf · официални решения: NOF3_2012_10-12solutionsD1.pdf