Съдържание

НОФ 2012, III кръг (национален), 8. клас — Задача 2. Плаваща чаша

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НОФ 2012

Национален кръг на олимпиадата по физика 2012, Хасково — тема по учебно съдържание за 8. клас · 21 април 2012 г. · 10 т.

Указания

Във всички задачи приемете, че земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

Условие

Стъклена чаша е окачена на силомер чрез тънки леки нишки (вж. фиг. 2, а). Когато чашата е изцяло пълна с вода, нейното тегло е $F_1 = 4{,}1\ \mathrm{N}$ (фиг. 2, б). Ако пълната чаша бъде потопена изцяло под вода, теглото ѝ става $F_2 = 0{,}45\ \mathrm{N}$ (фиг. 2, в).

Три схеми на стъклена чаша, окачена на силомер чрез нишки: празна, пълна с вода и потопена под вода в съд.

А) Пресметнете масата $m$ на празната чаша. [4 т.]

Б) Колко е вместимостта $V$ на чашата? [2 т.]

В) Какъв максимален обем $V_1$ вода може да бъде налят в чашата така, че тя да плава? [4 т.]

Данни:

плътност на водата $\rho_0 = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ ;
плътност на стъклото $\rho = 2500\ \mathrm{kg/m^3}$ ;

Отговори

Решение

А) Нека означим с $V_4$ собствения обем на чашата:

V_4 = \frac{m}{\rho}\,. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Под вода, на чашата действа Архимедова сила:

F_A = \rho_0 V_4 g = mg\frac{\rho_0}{\rho}\,. \qquad \textbf{[1 т]}

Силомерът отчита равнодействащата на силата на тежестта:

G = mg \qquad \textbf{[0,5 т]}

и на Архимедовата сила:

F_2 = G - F_A = mg\left(1 - \frac{\rho_0}{\rho}\right). \qquad \textbf{[1 т]}

Оттук намираме:

m = \frac{F_2\rho}{g(\rho - \rho_0)} = 0{,}075\ \mathrm{kg} = 75\ \mathrm{g} \qquad \textbf{[0,5 т за израз + 0,5 т за число]}

Б) Масата на налятата в чашата вода е:

m_0 = \rho_0 V\,. \qquad \textbf{[0,5 т]}

Следователно теглото на пълната чаша извън водата е:

F_1 = (m + \rho_0 V)g\,. \qquad \textbf{[0,5 т]}

За търсената вместимост намираме:

V = \frac{1}{\rho_0}\left(\frac{F_1}{g} - m\right) = 3{,}35\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^3} = 335\ \mathrm{cm^3}. \qquad \textbf{[0,5 т за израз + 0,5 т за число]}

В) Ако в чашата е налята вода с обем $V_1$ , силата на тежестта, действаща на чашата, е:

G = (m + \rho_0 V_1)g\,. \qquad \textbf{[0,5 т]}

При максималния обем налята вода, чашата е потопена до горния си ръб и измества вода с обем:

V' = V + V_4 = V + \frac{m}{\rho}\,. \qquad \textbf{[1 т]}

Тогава на чашата действа Архимедова сила:

F_A = \rho_0 V'g = \rho_0\left(V + \frac{m}{\rho}\right)g \qquad \textbf{[0,5 т]}

За да бъде чашата в равновесие, силата на тежестта трябва да се уравновесява с Архимедовата сила:

(m + \rho_0 V_1)g = \rho_0\left(V + \frac{m}{\rho}\right)g\,. \qquad \textbf{[1 т]}

Оттук намираме $V_1$ :

V_1 = V - m\left(\frac{1}{\rho_0} - \frac{1}{\rho}\right) = 2{,}9\cdot 10^{-4}\ \mathrm{m^3} = 290\ \mathrm{cm^3} \qquad \textbf{[0,5 т за израз + 0,5 т за число]}

Оригинал в Архива: NOF3_2012_8problems.pdf · официални решения: NOF3_2012_8solutions.pdf