НОФ 2013, II кръг (областен), 10–12 клас — Задача 3. Трептящ цилиндър

• а) Ще се издигне — електричната сила върху положителния заряд е насочена нагоре, обратно на силата на тежестта, и цилиндърът „олеква“.

• б) $\Delta V = \frac{qE}{\rho g}$

• в) $T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \pi\sqrt{\frac{2l}{g}}$

  Коефициент на еластичност $k = S\rho g$ с $S = \dfrac{2m}{\rho l}$.

• г) $T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \pi\sqrt{\frac{2l}{g}}$

  Същият период като без поле — постоянната електростатична сила само измества равновесното положение с $\Delta L = \dfrac{qE}{S\rho g}$.

а) Зарядът на цилиндъра е положителен и електричната сила има посоката на интензитета на електричното поле и обратна посока на силата на тежестта, т.е. цилиндърът „олеква“. Следва да се издигне. [1 т.]

б) Теглото на изместената течност от допълнителния потопен обем на тялото трябва да е равно на електричната сила (условие за плаване):

[1 т.]

където с $\Delta V$ е означен допълнителният обем на потопяване. Тогава имаме

[1 т.]

в) След изключване на полето възниква връщаща сила към равновесното положение без поле, равна по големина на $qE$, т.е.

[0,5 т.]

където коефициентът на еластичност е

[0,5 т.]

Тук $S$ е лицето на основата на цилиндъра. Тъй като първоначално цилиндърът плава наполовина потопен, от равенството на силата на тежестта $G = mg$ и Архимедовата сила $F_\mathrm{A} = \rho S \dfrac{l}{2} g$ [1 т.] намираме

[0,5 т.]

Следователно, периодът на трептене е

[1 т.]

г) Електростатичната сила е постоянна и има посоката на силата на тежестта. В този случай цилиндърът трепти около ново положение на равновесие, което е изместено с

[1 т.]

спрямо равновесното положение без електрично поле. Ако цилиндърът бъде потопен на разстояние $x$ спрямо новото равновесно положение, възниква връщаща сила

[1,5 т.]

със същия коефициент на еластичност, както в отсъствие на електрично поле. За периода на трептене в този случай получаваме отново

[1 т.]